Intégrale de convolution

L’intégrale de convolution indique comment deux fonctions se combinent lorsque l’une est décalée par rapport à l’autre. En temps continu, elle est définie par

$$(f * g)(t) = \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau) g(t-\tau)\,d\tau$$

L’idée intuitive est simple : pour chaque valeur de $t$, on fait glisser une fonction, on repère où les deux fonctions se recouvrent, on multiplie leurs valeurs sur ce recouvrement, puis on additionne le résultat. Si les deux fonctions sont causales, c’est-à-dire nulles pour les temps négatifs, cela devient souvent

$$(f * g)(t) = \int_0^t f(\tau) g(t-\tau)\,d\tau$$

pour $t \ge 0$, tant que $[0,t]$ contient tout le recouvrement. L’idée principale est pratique : la convolution transforme un recouvrement glissant en un nombre pour chaque valeur de $t$.

Définition et intuition de l’intégrale de convolution

Considérez $f(\tau)$ comme fixe et $g(t-\tau)$ comme une copie retournée et décalée de $g$. Quand $t$ change, le recouvrement change aussi, donc l’intégrale change également.

C’est la différence essentielle avec la multiplication point par point. On ne compare pas les deux fonctions à la même entrée. On additionne les produits sur toute la région où la copie décalée recouvre l’originale.

Pourquoi le recouvrement détermine les bornes

Dans un problème de convolution, les bornes ne viennent généralement pas d’un modèle appris par cœur. Elles viennent de la question : où les deux facteurs sont-ils non nuls ?

C’est pourquoi beaucoup de résultats de convolution sont définis par morceaux. Quand $t$ se déplace, l’intervalle de recouvrement peut grandir, rétrécir ou disparaître, donc l’intégrale doit changer avec lui.

C’est le point que les étudiants manquent souvent : la difficulté n’est généralement pas l’intégration. Elle consiste d’abord à trouver le bon intervalle de recouvrement.

Exemple d’intégrale de convolution : deux impulsions unitaires

Soit

$$f(t) = \begin{cases} 1, & 0 \le t \le 1 \\ 0, & \text{sinon} \end{cases}$$

et soit $g(t)$ la même fonction. On cherche $(f * g)(t)$.

Cet exemple fonctionne bien parce que l’intégrande vaut soit $1$, soit $0$, donc la convolution est simplement la longueur de l’intervalle de recouvrement.

En utilisant la définition,

$$(f * g)(t) = \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau) g(t-\tau)\,d\tau$$

Comme $f(\tau)=1$ seulement sur $[0,1]$, et que $g(t-\tau)=1$ seulement lorsque $0 \le t-\tau \le 1$, l’intégrande vaut $1$ exactement là où les deux conditions sont vérifiées.

La deuxième condition signifie

$$t-1 \le \tau \le t$$

Donc l’intervalle de recouvrement est

$$[0,1] \cap [t-1,t]$$

Ainsi, $(f * g)(t)$ est la longueur de ce recouvrement.

Cas 1 : $t < 0$

Il n’y a pas de recouvrement, donc

$$(f * g)(t) = 0$$

Cas 2 : $0 \le t \le 1$

Le recouvrement va de $\tau=0$ à $\tau=t$, donc

$$(f * g)(t) = \int_0^t 1\,d\tau = t$$

Cas 3 : $1 \le t \le 2$

Le recouvrement va de $\tau=t-1$ à $\tau=1$, donc

$$(f * g)(t) = \int_{t-1}^1 1\,d\tau = 2-t$$

Cas 4 : $t > 2$

Là encore, il n’y a pas de recouvrement, donc

$$(f * g)(t) = 0$$

En rassemblant les morceaux,

$$(f * g)(t) = \begin{cases} 0, & t < 0 \\ t, & 0 \le t \le 1 \\ 2-t, & 1 \le t \le 2 \\ 0, & t > 2 \end{cases}$$

Le résultat est un triangle. Sa hauteur augmente quand le recouvrement augmente, puis diminue quand le recouvrement se réduit.

Erreurs courantes avec l’intégrale de convolution

Oublier l’entrée décalée

Le second facteur est $g(t-\tau)$, et non $g(\tau-t)$ ni simplement $g(\tau)$. Le décalage est précisément l’idée centrale de la convolution.

Utiliser de mauvaises bornes

La méthode la plus sûre consiste à repérer où les deux facteurs sont non nuls. Si le recouvrement change avec $t$, les bornes demandent généralement une réponse par morceaux.

Traiter la convolution comme une multiplication point par point

La multiplication point par point utilise les valeurs à la même entrée. La convolution accumule des produits sur tout un intervalle.

Oublier la condition derrière un raccourci

Le raccourci

$$(f * g)(t) = \int_0^t f(\tau)g(t-\tau)\,d\tau$$

fonctionne dans des situations causales courantes, mais pas pour toutes les paires de fonctions. Utilisez-le seulement lorsque les hypothèses sur le support le justifient.

Où l’intégrale de convolution est utilisée

On utilise la convolution lorsqu’une grandeur dépend de la manière dont une autre est répartie dans le temps ou l’espace voisin.

Dans les systèmes linéaires invariants dans le temps, la convolution donne la sortie à partir d’une entrée et d’une réponse impulsionnelle. En probabilités, si deux variables aléatoires indépendantes ont des densités, la densité de leur somme est la convolution de ces densités. Plus largement, la convolution apparaît dans le lissage, le filtrage, la diffusion et toute situation où des valeurs voisines se combinent.

Essayez un problème de convolution similaire

Reprenez le même exemple d’impulsions, mais rendez la deuxième impulsion deux fois plus haute :

$$g(t) = \begin{cases} 2, & 0 \le t \le 1 \\ 0, & \text{sinon} \end{cases}$$

L’intervalle de recouvrement reste le même, mais l’intégrande est maintenant deux fois plus grande sur cet intervalle. Si vous pouvez prévoir comment cela modifie le résultat triangulaire avant d’intégrer, alors l’idée fondamentale de la convolution est acquise.