Faltungsintegral

Das Faltungsintegral beschreibt, wie sich zwei Funktionen kombinieren, wenn eine über die andere verschoben wird. In kontinuierlicher Zeit ist es definiert durch

$$(f * g)(t) = \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau) g(t-\tau)\,d\tau$$

Die schnelle Intuition ist einfach: Für jeden Wert von $t$ verschiebst du eine Funktion, bestimmst, wo sich beide Funktionen überlappen, multiplizierst ihre Werte in dieser Überlappung und addierst das Ergebnis. Wenn beide Funktionen kausal sind, also für negative Zeit null sind, wird daraus oft

$$(f * g)(t) = \int_0^t f(\tau) g(t-\tau)\,d\tau$$

für $t \ge 0$, solange $[0,t]$ die gesamte Überlappung erfasst. Die Hauptidee ist praktisch: Die Faltung macht aus gleitender Überlappung für jeden Wert von $t$ genau eine Zahl.

Definition und Intuition des Faltungsintegrals

Denke dir $f(\tau)$ als fest und $g(t-\tau)$ als gespiegelte, verschobene Kopie von $g$. Wenn sich $t$ ändert, ändert sich auch die Überlappung, und damit ändert sich das Integral.

Das ist der Hauptunterschied zur punktweisen Multiplikation. Du vergleichst die beiden Funktionen nicht am selben Eingabewert. Stattdessen addierst du Produkte über den gesamten Bereich, in dem sich die verschobene Kopie mit dem Original überlappt.

Warum die Überlappung die Grenzen bestimmt

Die Grenzen in einer Faltungsaufgabe entstehen normalerweise nicht dadurch, dass man ein Schema auswendig lernt. Sie ergeben sich aus der Frage, wo beide Faktoren ungleich null sind.

Deshalb sind viele Lösungen zur Faltung stückweise definiert. Wenn sich $t$ verschiebt, kann das Überlappungsintervall wachsen, schrumpfen oder verschwinden, also muss sich auch das Integral entsprechend ändern.

Genau diesen Teil übersehen Studierende oft: Der schwierige Teil ist meist nicht das Integrieren. Zuerst muss man das richtige Überlappungsintervall finden.

Beispiel zum Faltungsintegral: Zwei Einheitspulse

Sei

$$f(t) = \begin{cases} 1, & 0 \le t \le 1 \\ 0, & \text{sonst} \end{cases}$$

und sei $g(t)$ dieselbe Funktion. Gesucht ist $(f * g)(t)$.

Dieses Beispiel eignet sich gut, weil der Integrand entweder $1$ oder $0$ ist, sodass die Faltung einfach die Länge des Überlappungsintervalls ist.

Mit der Definition gilt

$$(f * g)(t) = \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau) g(t-\tau)\,d\tau$$

Da $f(\tau)=1$ nur auf $[0,1]$ gilt und $g(t-\tau)=1$ nur dann, wenn $0 \le t-\tau \le 1$, ist der Integrand genau dort $1$, wo beide Bedingungen erfüllt sind.

Die zweite Bedingung bedeutet

$$t-1 \le \tau \le t$$

Das Überlappungsintervall ist also

$$[0,1] \cap [t-1,t]$$

Damit ist $(f * g)(t)$ die Länge dieser Überlappung.

Fall 1: $t < 0$

Es gibt keine Überlappung, also

$$(f * g)(t) = 0$$

Fall 2: $0 \le t \le 1$

Die Überlappung reicht von $\tau=0$ bis $\tau=t$, also

$$(f * g)(t) = \int_0^t 1\,d\tau = t$$

Fall 3: $1 \le t \le 2$

Die Überlappung reicht von $\tau=t-1$ bis $\tau=1$, also

$$(f * g)(t) = \int_{t-1}^1 1\,d\tau = 2-t$$

Fall 4: $t > 2$

Wieder gibt es keine Überlappung, also

$$(f * g)(t) = 0$$

Setzt man die Teile zusammen, erhält man

$$(f * g)(t) = \begin{cases} 0, & t < 0 \\ t, & 0 \le t \le 1 \\ 2-t, & 1 \le t \le 2 \\ 0, & t > 2 \end{cases}$$

Das Ergebnis ist ein Dreieck. Seine Höhe wächst, solange die Überlappung wächst, und fällt dann wieder, wenn die Überlappung kleiner wird.

Häufige Fehler beim Faltungsintegral

Den verschobenen Eingang vergessen

Der zweite Faktor ist $g(t-\tau)$, nicht $g(\tau-t)$ und auch nicht einfach $g(\tau)$. Die Verschiebung ist der Kern der Faltung.

Die falschen Grenzen verwenden

Die sicherste Methode ist, zu bestimmen, wo beide Faktoren ungleich null sind. Wenn sich die Überlappung mit $t$ ändert, braucht man für die Grenzen meist eine stückweise Antwort.

Faltung mit punktweiser Multiplikation verwechseln

Bei der punktweisen Multiplikation verwendet man Werte am selben Eingabepunkt. Die Faltung summiert Produkte über ein ganzes Intervall auf.

Die Bedingung hinter einer Abkürzung überspringen

Die Abkürzung

$$(f * g)(t) = \int_0^t f(\tau)g(t-\tau)\,d\tau$$

funktioniert in vielen kausalen Standardsituationen, aber nicht für jedes Funktionenpaar. Verwende sie nur, wenn die Voraussetzungen an den Träger das rechtfertigen.

Wo das Faltungsintegral verwendet wird

Verwende Faltung, wenn eine Größe davon abhängt, wie eine andere über benachbarte Zeiten oder Orte verteilt ist.

In linearen zeitinvarianten Systemen liefert die Faltung die Ausgabe aus einem Eingangssignal und einer Impulsantwort. In der Wahrscheinlichkeitsrechnung gilt: Haben zwei unabhängige Zufallsvariablen Dichten, dann ist die Dichte ihrer Summe die Faltung dieser Dichten. Allgemeiner tritt Faltung bei Glättung, Filterung, Diffusion und überall dort auf, wo benachbarte Werte kombiniert werden.

Probiere eine ähnliche Faltungsaufgabe

Nimm dasselbe Pulsbeispiel, aber mache den zweiten Puls doppelt so hoch:

$$g(t) = \begin{cases} 2, & 0 \le t \le 1 \\ 0, & \text{sonst} \end{cases}$$

Das Überlappungsintervall bleibt gleich, aber der Integrand ist auf diesem Intervall jetzt doppelt so groß. Wenn du schon vor dem Integrieren vorhersagen kannst, wie sich dadurch das dreieckige Ergebnis ändert, hast du die Grundidee der Faltung verstanden.