Integral de convolución

La integral de convolución te dice cómo se combinan dos funciones cuando una se desplaza sobre la otra. En tiempo continuo, se define por

$$(f * g)(t) = \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau) g(t-\tau)\,d\tau$$

La intuición rápida es simple: para cada valor de $t$, deslizas una función, buscas dónde se solapan las dos funciones, multiplicas sus valores en ese solapamiento y sumas el resultado. Si ambas funciones son causales, es decir, son cero para tiempo negativo, esto a menudo se convierte en

$$(f * g)(t) = \int_0^t f(\tau) g(t-\tau)\,d\tau$$

para $t \ge 0$, siempre que $[0,t]$ capture todo el solapamiento. La idea principal es práctica: la convolución convierte un solapamiento deslizante en un número para cada valor de $t$.

Definición e intuición de la integral de convolución

Piensa en $f(\tau)$ como fija y en $g(t-\tau)$ como una copia invertida y desplazada de $g$. A medida que cambia $t$, cambia el solapamiento, así que la integral también cambia.

Esa es la diferencia principal con la multiplicación punto a punto. No estás comparando las dos funciones en la misma entrada. Estás sumando productos en toda la región donde la copia desplazada se solapa con la original.

Por qué el solapamiento determina los límites

Los límites en un problema de convolución normalmente no salen de memorizar una plantilla. Salen de preguntarte dónde ambos factores son distintos de cero.

Por eso muchas respuestas de convolución son por tramos. A medida que $t$ se mueve, el intervalo de solapamiento puede crecer, reducirse o desaparecer, así que la integral tiene que cambiar con él.

Esta es la parte que muchos estudiantes pasan por alto: la parte difícil normalmente no es la integración. Es encontrar primero el intervalo correcto de solapamiento.

Ejemplo de integral de convolución: dos pulsos unitarios

Sea

$$f(t) = \begin{cases} 1, & 0 \le t \le 1 \\ 0, & \text{en otro caso} \end{cases}$$

y sea $g(t)$ la misma función. Queremos hallar $(f * g)(t)$.

Este ejemplo funciona bien porque el integrando vale $1$ o $0$, así que la convolución es simplemente la longitud del intervalo de solapamiento.

Usando la definición,

$$(f * g)(t) = \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau) g(t-\tau)\,d\tau$$

Como $f(\tau)=1$ solo en $[0,1]$, y $g(t-\tau)=1$ solo cuando $0 \le t-\tau \le 1$, el integrando vale $1$ exactamente donde se cumplen ambas condiciones.

La segunda condición significa

$$t-1 \le \tau \le t$$

Así que el intervalo de solapamiento es

$$[0,1] \cap [t-1,t]$$

Por tanto, $(f * g)(t)$ es la longitud de ese solapamiento.

Caso 1: $t < 0$

No hay solapamiento, así que

$$(f * g)(t) = 0$$

Caso 2: $0 \le t \le 1$

El solapamiento va de $\tau=0$ a $\tau=t$, así que

$$(f * g)(t) = \int_0^t 1\,d\tau = t$$

Caso 3: $1 \le t \le 2$

El solapamiento va de $\tau=t-1$ a $\tau=1$, así que

$$(f * g)(t) = \int_{t-1}^1 1\,d\tau = 2-t$$

Caso 4: $t > 2$

De nuevo no hay solapamiento, así que

$$(f * g)(t) = 0$$

Uniendo los tramos,

$$(f * g)(t) = \begin{cases} 0, & t < 0 \\ t, & 0 \le t \le 1 \\ 2-t, & 1 \le t \le 2 \\ 0, & t > 2 \end{cases}$$

El resultado es un triángulo. Su altura crece mientras crece el solapamiento y luego disminuye cuando el solapamiento se reduce.

Errores comunes en la integral de convolución

Olvidar la entrada desplazada

El segundo factor es $g(t-\tau)$, no $g(\tau-t)$ ni simplemente $g(\tau)$. El desplazamiento es precisamente la idea central de la convolución.

Usar límites incorrectos

El método más seguro es encontrar dónde ambos factores son distintos de cero. Si el solapamiento cambia con $t$, los límites normalmente requieren una respuesta por tramos.

Tratar la convolución como multiplicación punto a punto

La multiplicación punto a punto usa valores en la misma entrada. La convolución acumula productos a lo largo de todo un intervalo.

Omitir la condición detrás de un atajo

El atajo

$$(f * g)(t) = \int_0^t f(\tau)g(t-\tau)\,d\tau$$

funciona en situaciones causales comunes, pero no para cualquier par de funciones. Úsalo solo cuando las hipótesis sobre el soporte lo justifiquen.

Dónde se usa la integral de convolución

Usa la convolución cuando una cantidad depende de cómo otra se reparte a lo largo del tiempo o del espacio cercanos.

En sistemas lineales e invariantes en el tiempo, la convolución da la salida a partir de una entrada y una respuesta al impulso. En probabilidad, si dos variables aleatorias independientes tienen densidades, la densidad de su suma es una convolución de esas densidades. De forma más general, la convolución aparece en suavizado, filtrado, difusión y en cualquier contexto donde se combinan valores cercanos.

Prueba un problema de convolución similar

Prueba el mismo ejemplo de pulsos, pero haz que el segundo pulso tenga el doble de altura:

$$g(t) = \begin{cases} 2, & 0 \le t \le 1 \\ 0, & \text{en otro caso} \end{cases}$$

El intervalo de solapamiento sigue siendo el mismo, pero ahora el integrando es el doble de grande en ese intervalo. Si puedes predecir cómo cambia eso el resultado triangular antes de integrar, entonces ya entendiste la idea central de la convolución.