อินทิกรัลคอนโวลูชัน

อินทิกรัลคอนโวลูชันบอกว่าฟังก์ชันสองตัวรวมกันอย่างไรเมื่อเลื่อนฟังก์ชันหนึ่งผ่านอีกฟังก์ชันหนึ่ง ในกรณีเวลาแบบต่อเนื่อง นิยามคือ

$$(f * g)(t) = \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau) g(t-\tau)\,d\tau$$

แนวคิดแบบเร็ว ๆ นั้นง่ายมาก: สำหรับแต่ละค่า $t$ ให้เลื่อนฟังก์ชันหนึ่ง หาให้เจอว่าทั้งสองฟังก์ชันซ้อนทับกันตรงไหน คูณค่าของทั้งสองบนช่วงที่ซ้อนทับนั้น แล้วรวมผลลัพธ์เข้าด้วยกัน ถ้าฟังก์ชันทั้งสองเป็น causal หมายความว่าเป็นศูนย์เมื่อเวลาเป็นลบ ก็มักเขียนได้เป็น

$$(f * g)(t) = \int_0^t f(\tau) g(t-\tau)\,d\tau$$

สำหรับ $t \ge 0$ ตราบใดที่ช่วง $[0,t]$ ครอบคลุมบริเวณที่ซ้อนทับทั้งหมด แนวคิดหลักในทางปฏิบัติคือ คอนโวลูชันเปลี่ยนการซ้อนทับขณะเลื่อนให้กลายเป็นตัวเลขหนึ่งค่าต่อหนึ่งค่า $t$

นิยามและภาพเข้าใจของอินทิกรัลคอนโวลูชัน

ให้มอง $f(\tau)$ เป็นฟังก์ชันที่ตรึงอยู่กับที่ และมอง $g(t-\tau)$ เป็นสำเนาของ $g$ ที่ถูกกลับด้านและเลื่อนตำแหน่ง เมื่อ $t$ เปลี่ยน การซ้อนทับก็เปลี่ยน ดังนั้นค่าอินทิกรัลจึงเปลี่ยนตามไปด้วย

นี่คือความต่างหลักจากการคูณแบบจุดต่อจุด คุณไม่ได้เปรียบเทียบฟังก์ชันทั้งสองที่อินพุตเดียวกัน แต่กำลังรวมผลคูณตลอดทั้งบริเวณที่สำเนาซึ่งถูกเลื่อนนั้นซ้อนทับกับฟังก์ชันเดิม

ทำไมช่วงที่ซ้อนทับกันจึงเป็นตัวกำหนดขอบเขต

ขอบเขตในโจทย์คอนโวลูชันมักไม่ได้มาจากการท่องจำรูปแบบสำเร็จรูป แต่มาจากการถามว่าช่วงใดที่ทั้งสองพจน์ไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน

นั่นจึงเป็นเหตุผลว่าทำไมคำตอบของคอนโวลูชันจำนวนมากจึงต้องเขียนแบบแบ่งเป็นช่วง เมื่อ $t$ เคลื่อนที่ ช่วงที่ซ้อนทับกันอาจยาวขึ้น สั้นลง หรือหายไป ดังนั้นอินทิกรัลก็ต้องเปลี่ยนตาม

จุดนี้เป็นสิ่งที่นักเรียนมักพลาด ส่วนที่ยากมักไม่ใช่การอินทิเกรต แต่คือการหาช่วงที่ซ้อนทับกันให้ถูกต้องก่อน

ตัวอย่างอินทิกรัลคอนโวลูชัน: พัลส์หนึ่งหน่วยสองตัว

ให้

$$f(t) = \begin{cases} 1, & 0 \le t \le 1 \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases}$$

และให้ $g(t)$ เป็นฟังก์ชันเดียวกัน เราต้องการหา $(f * g)(t)$

ตัวอย่างนี้เหมาะมาก เพราะอินทิแกรนด์มีค่าเป็น $1$ หรือ $0$ เท่านั้น ดังนั้นคอนโวลูชันจึงเท่ากับความยาวของช่วงที่ซ้อนทับกัน

จากนิยาม

$$(f * g)(t) = \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau) g(t-\tau)\,d\tau$$

เนื่องจาก $f(\tau)=1$ เฉพาะบนช่วง $[0,1]$ และ $g(t-\tau)=1$ เฉพาะเมื่อ $0 \le t-\tau \le 1$ อินทิแกรนด์จึงมีค่าเป็น $1$ พอดีในบริเวณที่ทั้งสองเงื่อนไขเป็นจริงพร้อมกัน

เงื่อนไขที่สองหมายความว่า

$$t-1 \le \tau \le t$$

ดังนั้นช่วงที่ซ้อนทับกันคือ

$$[0,1] \cap [t-1,t]$$

จึงได้ว่า $(f * g)(t)$ เท่ากับความยาวของช่วงที่ซ้อนทับนี้

กรณีที่ 1: $t < 0$

ไม่มีการซ้อนทับกัน ดังนั้น

$$(f * g)(t) = 0$$

กรณีที่ 2: $0 \le t \le 1$

ช่วงที่ซ้อนทับกันคือจาก $\tau=0$ ถึง $\tau=t$ ดังนั้น

$$(f * g)(t) = \int_0^t 1\,d\tau = t$$

กรณีที่ 3: $1 \le t \le 2$

ช่วงที่ซ้อนทับกันคือจาก $\tau=t-1$ ถึง $\tau=1$ ดังนั้น

$$(f * g)(t) = \int_{t-1}^1 1\,d\tau = 2-t$$

กรณีที่ 4: $t > 2$

ไม่มีการซ้อนทับกันอีกครั้ง ดังนั้น

$$(f * g)(t) = 0$$

เมื่อนำทุกช่วงมารวมกัน จะได้ว่า

$$(f * g)(t) = \begin{cases} 0, & t < 0 \\ t, & 0 \le t \le 1 \\ 2-t, & 1 \le t \le 2 \\ 0, & t > 2 \end{cases}$$

ผลลัพธ์เป็นรูปสามเหลี่ยม ความสูงจะเพิ่มขึ้นเมื่อช่วงที่ซ้อนทับกันยาวขึ้น แล้วลดลงเมื่อช่วงที่ซ้อนทับกันสั้นลง

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยในอินทิกรัลคอนโวลูชัน

ลืมอินพุตที่ถูกเลื่อน

พจน์ตัวที่สองคือ $g(t-\tau)$ ไม่ใช่ $g(\tau-t)$ และไม่ใช่แค่ $g(\tau)$ การเลื่อนนี่เองคือหัวใจของคอนโวลูชัน

ใช้ขอบเขตผิด

วิธีที่ปลอดภัยที่สุดคือหาว่าช่วงใดที่ทั้งสองพจน์ไม่เป็นศูนย์ ถ้าช่วงที่ซ้อนทับกันเปลี่ยนไปตาม $t$ ขอบเขตก็มักต้องตอบแบบแบ่งเป็นช่วง

มองคอนโวลูชันเป็นการคูณแบบจุดต่อจุด

การคูณแบบจุดต่อจุดใช้ค่าที่อินพุตเดียวกัน แต่คอนโวลูชันคือการสะสมผลคูณตลอดทั้งช่วงหนึ่ง

ข้ามเงื่อนไขที่ทำให้ใช้สูตรลัดได้

สูตรลัด

$$(f * g)(t) = \int_0^t f(\tau)g(t-\tau)\,d\tau$$

ใช้ได้ในสถานการณ์ causal ที่พบบ่อย แต่ใช้ไม่ได้กับทุกคู่ของฟังก์ชัน ควรใช้ก็ต่อเมื่อสมมติฐานเรื่อง support รองรับจริง ๆ

อินทิกรัลคอนโวลูชันใช้ที่ไหน

ใช้คอนโวลูชันเมื่อปริมาณหนึ่งขึ้นอยู่กับการที่อีกปริมาณหนึ่งกระจายตัวอยู่ในเวลา หรือในอวกาศใกล้เคียงอย่างไร

ในระบบเชิงเส้นไม่แปรตามเวลา คอนโวลูชันให้เอาต์พุตจากอินพุตและการตอบสนองอิมพัลส์ ในความน่าจะเป็น ถ้าตัวแปรสุ่มอิสระสองตัวมีฟังก์ชันความหนาแน่น ผลรวมของทั้งสองจะมีความหนาแน่นที่เป็นคอนโวลูชันของความหนาแน่นเหล่านั้น ในภาพกว้างกว่านั้น คอนโวลูชันปรากฏในงานทำให้เรียบ การกรอง การแพร่ และสถานการณ์ใดก็ตามที่ค่าบริเวณใกล้เคียงรวมกัน

ลองทำโจทย์คอนโวลูชันที่คล้ายกัน

ลองใช้ตัวอย่างพัลส์เดิม แต่ให้พัลส์ตัวที่สองสูงเป็นสองเท่า:

$$g(t) = \begin{cases} 2, & 0 \le t \le 1 \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases}$$

ช่วงที่ซ้อนทับกันยังเหมือนเดิม แต่อินทิแกรนด์มีค่ามากขึ้นเป็นสองเท่าบนช่วงนั้น ถ้าคุณคาดเดาได้ก่อนอินทิเกรตว่าผลลัพธ์รูปสามเหลี่ยมจะเปลี่ยนอย่างไร แสดงว่าคุณเข้าใจแนวคิดหลักของคอนโวลูชันแล้ว