Tích chập

Tích phân chập cho biết hai hàm kết hợp với nhau như thế nào khi một hàm được tịnh tiến qua hàm kia. Trong thời gian liên tục, nó được định nghĩa bởi

$$(f * g)(t) = \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau) g(t-\tau)\,d\tau$$

Trực giác nhanh rất đơn giản: với mỗi giá trị của $t$, hãy trượt một hàm, tìm nơi hai hàm chồng lấp nhau, nhân các giá trị của chúng trên phần chồng lấp đó, rồi cộng lại. Nếu cả hai hàm đều nhân quả, nghĩa là bằng 0 với thời gian âm, thì biểu thức này thường trở thành

$$(f * g)(t) = \int_0^t f(\tau) g(t-\tau)\,d\tau$$

với $t \ge 0$, miễn là $[0,t]$ bao trọn toàn bộ vùng chồng lấp. Ý chính mang tính thực hành: phép chập biến phần chồng lấp khi trượt thành một con số cho mỗi giá trị của $t$.

Định Nghĩa Và Trực Giác Về Tích Phân Chập

Hãy xem $f(\tau)$ là cố định và $g(t-\tau)$ là một bản sao của $g$ đã bị lật và tịnh tiến. Khi $t$ thay đổi, vùng chồng lấp thay đổi, nên tích phân cũng thay đổi theo.

Đó là điểm khác biệt chính so với phép nhân theo từng điểm. Bạn không so sánh hai hàm tại cùng một đầu vào. Thay vào đó, bạn cộng các tích trên toàn bộ miền mà bản sao đã tịnh tiến chồng lên hàm gốc.

Vì Sao Vùng Chồng Lấp Quyết Định Cận Tích Phân

Trong một bài toán chập, cận tích phân thường không đến từ việc ghi nhớ một khuôn mẫu. Chúng đến từ câu hỏi: ở đâu thì cả hai thừa số đều khác 0?

Đó là lý do nhiều đáp án phép chập có dạng từng đoạn. Khi $t$ thay đổi, khoảng chồng lấp có thể tăng, giảm hoặc biến mất, nên tích phân cũng phải thay đổi theo.

Đây là phần sinh viên thường bỏ sót: phần khó thường không phải là tính tích phân. Phần khó là tìm đúng khoảng chồng lấp trước.

Ví Dụ Tích Phân Chập: Hai Xung Đơn Vị

Cho

$$f(t) = \begin{cases} 1, & 0 \le t \le 1 \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases}$$

và $g(t)$ cũng là cùng một hàm như vậy. Ta cần tìm $(f * g)(t)$.

Ví dụ này rất phù hợp vì hàm dưới dấu tích phân chỉ nhận giá trị $1$ hoặc $0$, nên phép chập chỉ là độ dài của khoảng chồng lấp.

Dùng định nghĩa,

$$(f * g)(t) = \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau) g(t-\tau)\,d\tau$$

Vì $f(\tau)=1$ chỉ trên $[0,1]$, và $g(t-\tau)=1$ chỉ khi $0 \le t-\tau \le 1$, nên hàm dưới dấu tích phân bằng $1$ đúng tại nơi cả hai điều kiện cùng đúng.

Điều kiện thứ hai có nghĩa là

$$t-1 \le \tau \le t$$

Vì vậy khoảng chồng lấp là

$$[0,1] \cap [t-1,t]$$

Do đó $(f * g)(t)$ chính là độ dài của khoảng chồng lấp này.

Trường hợp 1: $t < 0$

Không có phần chồng lấp, nên

$$(f * g)(t) = 0$$

Trường hợp 2: $0 \le t \le 1$

Phần chồng lấp chạy từ $\tau=0$ đến $\tau=t$, nên

$$(f * g)(t) = \int_0^t 1\,d\tau = t$$

Trường hợp 3: $1 \le t \le 2$

Phần chồng lấp chạy từ $\tau=t-1$ đến $\tau=1$, nên

$$(f * g)(t) = \int_{t-1}^1 1\,d\tau = 2-t$$

Trường hợp 4: $t > 2$

Một lần nữa không có phần chồng lấp, nên

$$(f * g)(t) = 0$$

Ghép các phần lại với nhau,

$$(f * g)(t) = \begin{cases} 0, & t < 0 \\ t, & 0 \le t \le 1 \\ 2-t, & 1 \le t \le 2 \\ 0, & t > 2 \end{cases}$$

Kết quả là một hình tam giác. Chiều cao của nó tăng khi phần chồng lấp tăng, rồi giảm khi phần chồng lấp thu hẹp lại.

Những Lỗi Thường Gặp Khi Làm Tích Phân Chập

Quên Biến Đầu Vào Đã Được Tịnh Tiến

Thừa số thứ hai là $g(t-\tau)$, không phải $g(\tau-t)$ và cũng không chỉ là $g(\tau)$. Sự tịnh tiến chính là cốt lõi của phép chập.

Dùng Sai Cận Tích Phân

Cách an toàn nhất là tìm nơi cả hai thừa số đều khác 0. Nếu vùng chồng lấp thay đổi theo $t$, thì cận tích phân thường phải được viết theo từng đoạn.

Xem Phép Chập Như Phép Nhân Theo Từng Điểm

Phép nhân theo từng điểm dùng các giá trị tại cùng một đầu vào. Phép chập thì cộng dồn các tích trên cả một khoảng.

Bỏ Qua Điều Kiện Đằng Sau Một Công Thức Rút Gọn

Công thức rút gọn

$$(f * g)(t) = \int_0^t f(\tau)g(t-\tau)\,d\tau$$

hoạt động trong nhiều tình huống nhân quả quen thuộc, nhưng không đúng với mọi cặp hàm. Chỉ dùng nó khi các giả thiết về miền đỡ biện minh cho điều đó.

Tích Phân Chập Được Dùng Ở Đâu

Hãy dùng phép chập khi một đại lượng phụ thuộc vào cách một đại lượng khác được phân bố trên các thời điểm hoặc vị trí lân cận.

Trong các hệ tuyến tính bất biến theo thời gian, phép chập cho đầu ra từ đầu vào và đáp ứng xung. Trong xác suất, nếu hai biến ngẫu nhiên độc lập có hàm mật độ, thì mật độ của tổng của chúng là phép chập của hai mật độ đó. Rộng hơn, phép chập xuất hiện trong làm trơn, lọc, khuếch tán và mọi bối cảnh mà các giá trị lân cận kết hợp với nhau.

Thử Một Bài Toán Chập Tương Tự

Hãy thử lại ví dụ xung ở trên, nhưng cho xung thứ hai cao gấp đôi:

$$g(t) = \begin{cases} 2, & 0 \le t \le 1 \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases}$$

Khoảng chồng lấp vẫn giữ nguyên, nhưng hàm dưới dấu tích phân bây giờ lớn gấp đôi trên khoảng đó. Nếu bạn có thể dự đoán điều này làm thay đổi kết quả hình tam giác như thế nào trước khi tính tích phân, thì bạn đã nắm được ý tưởng cốt lõi của phép chập.