Integral Konvolusi

Integral konvolusi memberi tahu Anda bagaimana dua fungsi bergabung ketika salah satunya digeser melintasi yang lain. Dalam waktu kontinu, definisinya adalah

$$(f * g)(t) = \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau) g(t-\tau)\,d\tau$$

Intuisi cepatnya sederhana: untuk setiap nilai $t$, geser satu fungsi, cari di mana kedua fungsi saling tumpang tindih, kalikan nilainya pada daerah tumpang tindih itu, lalu jumlahkan hasilnya. Jika kedua fungsi bersifat kausal, artinya bernilai nol untuk waktu negatif, ini sering menjadi

$$(f * g)(t) = \int_0^t f(\tau) g(t-\tau)\,d\tau$$

untuk $t \ge 0$, selama $[0,t]$ mencakup seluruh daerah tumpang tindih. Gagasan utamanya bersifat praktis: konvolusi mengubah tumpang tindih yang bergeser menjadi satu bilangan untuk setiap nilai $t$.

Definisi Dan Intuisi Integral Konvolusi

Anggap $f(\tau)$ tetap dan $g(t-\tau)$ sebagai salinan $g$ yang dibalik lalu digeser. Saat $t$ berubah, daerah tumpang tindih ikut berubah, sehingga integralnya juga berubah.

Inilah perbedaan utama dari perkalian titik demi titik. Anda tidak membandingkan dua fungsi pada masukan yang sama. Anda menjumlahkan hasil kali di seluruh daerah tempat salinan yang digeser bertumpang tindih dengan fungsi asal.

Mengapa Tumpang Tindih Menentukan Batas Integral

Batas dalam soal konvolusi biasanya tidak berasal dari menghafal template. Batas itu berasal dari pertanyaan: di mana kedua faktor bernilai tak nol?

Itulah sebabnya banyak jawaban konvolusi berbentuk per bagian. Saat $t$ bergerak, interval tumpang tindih bisa membesar, mengecil, atau hilang, sehingga integralnya juga harus berubah.

Bagian ini sering terlewat oleh siswa: bagian tersulit biasanya bukan integrasinya. Bagian tersulit adalah menemukan interval tumpang tindih yang benar terlebih dahulu.

Contoh Integral Konvolusi: Dua Pulsa Satuan

Misalkan

$$f(t) = \begin{cases} 1, & 0 \le t \le 1 \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases}$$

dan $g(t)$ adalah fungsi yang sama. Kita ingin mencari $(f * g)(t)$.

Contoh ini bekerja dengan baik karena integrannya hanya bernilai $1$ atau $0$, sehingga konvolusinya hanyalah panjang interval tumpang tindih.

Dengan menggunakan definisi,

$$(f * g)(t) = \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau) g(t-\tau)\,d\tau$$

Karena $f(\tau)=1$ hanya pada $[0,1]$, dan $g(t-\tau)=1$ hanya ketika $0 \le t-\tau \le 1$, integran bernilai $1$ tepat saat kedua syarat itu terpenuhi.

Syarat kedua berarti

$$t-1 \le \tau \le t$$

Jadi interval tumpang tindihnya adalah

$$[0,1] \cap [t-1,t]$$

Maka $(f * g)(t)$ adalah panjang interval tumpang tindih tersebut.

Kasus 1: $t < 0$

Tidak ada tumpang tindih, jadi

$$(f * g)(t) = 0$$

Kasus 2: $0 \le t \le 1$

Daerah tumpang tindih berjalan dari $\tau=0$ sampai $\tau=t$, jadi

$$(f * g)(t) = \int_0^t 1\,d\tau = t$$

Kasus 3: $1 \le t \le 2$

Daerah tumpang tindih berjalan dari $\tau=t-1$ sampai $\tau=1$, jadi

$$(f * g)(t) = \int_{t-1}^1 1\,d\tau = 2-t$$

Kasus 4: $t > 2$

Sekali lagi tidak ada tumpang tindih, jadi

$$(f * g)(t) = 0$$

Jika semua bagian digabungkan,

$$(f * g)(t) = \begin{cases} 0, & t < 0 \\ t, & 0 \le t \le 1 \\ 2-t, & 1 \le t \le 2 \\ 0, & t > 2 \end{cases}$$

Hasilnya adalah sebuah segitiga. Tingginya bertambah saat daerah tumpang tindih membesar, lalu menurun saat daerah tumpang tindih mengecil.

Kesalahan Umum Pada Integral Konvolusi

Lupa Pada Masukan Yang Digeser

Faktor kedua adalah $g(t-\tau)$, bukan $g(\tau-t)$ dan bukan hanya $g(\tau)$. Pergeseran itulah inti dari konvolusi.

Menggunakan Batas Yang Salah

Metode paling aman adalah mencari di mana kedua faktor bernilai tak nol. Jika daerah tumpang tindih berubah terhadap $t$, batas integral biasanya juga perlu dijawab secara per bagian.

Menganggap Konvolusi Sebagai Perkalian Titik Demi Titik

Perkalian titik demi titik memakai nilai pada masukan yang sama. Konvolusi mengakumulasikan hasil kali di sepanjang seluruh interval.

Melewatkan Syarat Di Balik Sebuah Jalan Pintas

Jalan pintas

$$(f * g)(t) = \int_0^t f(\tau)g(t-\tau)\,d\tau$$

berlaku pada banyak situasi kausal yang umum, tetapi tidak untuk setiap pasangan fungsi. Gunakan hanya ketika asumsi support memang membenarkannya.

Di Mana Integral Konvolusi Digunakan

Gunakan konvolusi ketika suatu besaran bergantung pada bagaimana besaran lain tersebar di waktu atau ruang terdekat.

Dalam sistem linear tak berubah terhadap waktu, konvolusi memberikan keluaran dari suatu masukan dan respons impuls. Dalam probabilitas, jika dua variabel acak independen memiliki fungsi kerapatan, maka kerapatan dari jumlah keduanya adalah konvolusi dari kerapatan tersebut. Secara lebih luas, konvolusi muncul dalam smoothing, filtering, difusi, dan situasi apa pun ketika nilai-nilai yang berdekatan saling bergabung.

Coba Soal Konvolusi Serupa

Coba contoh pulsa yang sama, tetapi buat pulsa kedua dua kali lebih tinggi:

$$g(t) = \begin{cases} 2, & 0 \le t \le 1 \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases}$$

Interval tumpang tindihnya tetap sama, tetapi integrannya sekarang dua kali lebih besar pada interval itu. Jika Anda bisa memprediksi bagaimana hal itu mengubah hasil segitiga sebelum mengintegralkan, berarti gagasan inti konvolusi sudah benar-benar dipahami.