畳み込み積分

畳み込み積分は、一方の関数をもう一方の上でずらしながら、2つの関数がどのように組み合わさるかを表します。連続時間では、次のように定義されます。

$$(f * g)(t) = \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau) g(t-\tau)\,d\tau$$

直感的にはシンプルです。各 $t$ に対して一方の関数をスライドさせ、2つが重なる場所を見つけ、その重なりの上で値を掛け合わせて足し合わせます。両方の関数が因果的、つまり負の時間で 0 なら、しばしば

$$(f * g)(t) = \int_0^t f(\tau) g(t-\tau)\,d\tau$$

となります（$t \ge 0$ で、かつ $[0,t]$ が重なり全体を含む場合）。実用上のポイントは、スライドする重なりを各 $t$ に対して1つの数に変えることです。

畳み込み積分の定義と直感

$f(\tau)$ は固定され、$g(t-\tau)$ は $g$ を反転して平行移動したものだと考えてください。$t$ が変わると重なり方も変わるので、積分値も変わります。

ここが点ごとの積との大きな違いです。2つの関数を同じ入力で比べているのではありません。ずらしたコピーが元の関数と重なる領域全体で、積を足し合わせているのです。

なぜ重なりが積分区間を決めるのか

畳み込みの問題で積分区間は、暗記した型から決まることはあまりありません。両方の因子がどこで 0 でないかを考えて決まります。

そのため、多くの畳み込みの答えは場合分けになります。$t$ が動くと重なり区間は広がったり、縮んだり、消えたりするので、それに応じて積分も変わります。

学生がよく見落とすのはここです。難しいのはたいてい積分そのものではなく、まず正しい重なり区間を見つけることです。

畳み込み積分の例：2つの単位パルス

次を考えます。

$$f(t) = \begin{cases} 1, & 0 \le t \le 1 \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases}$$

そして $g(t)$ も同じ関数とします。求めたいのは $(f * g)(t)$ です。

この例がわかりやすいのは、被積分関数が $1$ か $0$ のどちらかなので、畳み込みがそのまま重なり区間の長さになるからです。

定義を使うと、

$$(f * g)(t) = \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau) g(t-\tau)\,d\tau$$

です。$f(\tau)=1$ なのは $[0,1]$ 上だけで、$g(t-\tau)=1$ なのは $0 \le t-\tau \le 1$ のときだけなので、被積分関数が $1$ になるのはこの2つの条件が同時に成り立つところに限られます。

2つ目の条件は

$$t-1 \le \tau \le t$$

を意味します。

したがって、重なり区間は

$$[0,1] \cap [t-1,t]$$

です。

つまり $(f * g)(t)$ は、この重なりの長さになります。

場合 1: $t < 0$

重なりはないので、

$$(f * g)(t) = 0$$

です。

場合 2: $0 \le t \le 1$

重なりは $\tau=0$ から $\tau=t$ までなので、

$$(f * g)(t) = \int_0^t 1\,d\tau = t$$

となります。

場合 3: $1 \le t \le 2$

重なりは $\tau=t-1$ から $\tau=1$ までなので、

$$(f * g)(t) = \int_{t-1}^1 1\,d\tau = 2-t$$

となります。

場合 4: $t > 2$

ここでも重なりはないので、

$$(f * g)(t) = 0$$

です。

以上をまとめると、

$$(f * g)(t) = \begin{cases} 0, & t < 0 \\ t, & 0 \le t \le 1 \\ 2-t, & 1 \le t \le 2 \\ 0, & t > 2 \end{cases}$$

となります。

結果は三角形になります。重なりが増える間は高さが増え、重なりが減ると高さも下がります。

畳み込み積分でよくあるミス

ずらした入力を忘れる

2つ目の因子は $g(t-\tau)$ であって、$g(\tau-t)$ でも単なる $g(\tau)$ でもありません。ずらしこそが畳み込みの本質です。

積分区間を間違える

最も安全な方法は、両方の因子が 0 でない範囲を見つけることです。重なりが $t$ によって変わるなら、たいてい場合分けが必要になります。

畳み込みを点ごとの積だと思ってしまう

点ごとの積は同じ入力での値を使います。畳み込みは、区間全体にわたる積を累積します。

近道が使える条件を飛ばしてしまう

近道として

$$(f * g)(t) = \int_0^t f(\tau)g(t-\tau)\,d\tau$$

を使うことがあります。

これは因果的な設定ではよく成り立ちますが、どんな関数の組にも使えるわけではありません。その仮定が成り立つときだけ使ってください。

畳み込み積分はどこで使われるか

ある量が、別の量の近くの時間や空間への広がり方に依存するとき、畳み込みを使います。

線形時不変系では、入力とインパルス応答から出力を求めるのに畳み込みを使います。確率では、2つの独立な確率変数が密度関数をもつとき、その和の密度はそれらの密度の畳み込みになります。より広くは、平滑化、フィルタリング、拡散、そして近くの値どうしが組み合わさるあらゆる場面に現れます。

似た畳み込み問題を試してみよう

同じパルスの例で、2つ目のパルスの高さを2倍にしてみてください。

$$g(t) = \begin{cases} 2, & 0 \le t \le 1 \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases}$$

重なり区間は同じままですが、その区間での被積分関数は2倍になります。積分する前に、それで三角形の結果がどう変わるか予想できれば、畳み込みの核心はつかめています。