Intervalo de confianza — fórmula, cálculo y ejemplos

Un intervalo de confianza es un rango de valores plausibles para un parámetro poblacional, basado en datos muestrales. En muchos problemas introductorios de estadística, se construye como

$$\text{estimate} \pm \text{margin of error}$$

El margen de error depende de cuánta incertidumbre hay en la muestra y de qué tan confiado quieres estar. Un mayor nivel de confianza produce un intervalo más amplio. Datos más precisos producen uno más estrecho.

Qué significa un intervalo de confianza en lenguaje sencillo

Si ves un intervalo de confianza del $95\%$, la interpretación más segura se refiere al método, no a un único intervalo ya calculado. Si el mismo proceso de muestreo se repitiera muchas veces y el intervalo se reconstruyera de la misma forma cada vez, aproximadamente el $95\%$ de esos intervalos contendrían el parámetro verdadero.

Así que un intervalo de confianza es una forma de mostrar la incertidumbre alrededor de una estimación. Da un rango plausible, no una garantía.

Fórmula del intervalo de confianza

La estructura general es

$$\text{estimate} \pm \text{critical value} \times \text{standard error}$$

Para una media poblacional, dos versiones comunes son:

$$\bar{x} \pm z^* \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$

Usa esa forma cuando la desviación estándar poblacional $\sigma$ es conocida, o cuando está justificada una aproximación normal con un valor crítico $z$.

$$\bar{x} \pm t^* \frac{s}{\sqrt{n}}$$

Usa esa forma cuando $\sigma$ es desconocida y estimas la dispersión con la desviación estándar muestral $s$. Para muestras pequeñas, esto suele ir acompañado de la condición de que la población sea aproximadamente normal.

El mismo patrón aparece en muchos contextos, pero el error estándar cambia para medias, proporciones y otros parámetros.

Qué cambia el ancho de un intervalo de confianza

Hay tres factores que importan más:

1. Un nivel de confianza mayor hace que el intervalo sea más amplio.
2. Un tamaño de muestra mayor normalmente hace que el intervalo sea más estrecho.
3. Una mayor variabilidad en los datos hace que el intervalo sea más amplio.

Ese es el principal equilibrio: más confianza normalmente cuesta precisión.

Ejemplo de intervalo de confianza del 95%

Supón que una muestra de $64$ observaciones tiene media $\bar{x} = 50$, y que la desviación estándar poblacional es conocida y vale $\sigma = 8$. Construye un intervalo de confianza del $95\%$ para la media poblacional usando un intervalo $z$.

Empieza con

$$\bar{x} \pm z^* \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$

Para un nivel de confianza del $95\%$, usa $z^* \approx 1.96$.

Ahora calcula el error estándar:

$$\frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{8}{\sqrt{64}} = \frac{8}{8} = 1$$

Entonces el margen de error es

$$1.96 \times 1 = 1.96$$

Construye el intervalo:

$$50 \pm 1.96$$

lo que da

$$(48.04,\ 51.96)$$

Una lectura práctica es: si las condiciones del modelo son razonables y los datos provienen de este proceso de muestreo, los valores entre $48.04$ y $51.96$ son plausibles para la media poblacional.

Errores comunes con los intervalos de confianza

Un error común es decir que hay una probabilidad del $95\%$ de que el parámetro verdadero esté en este intervalo específico. En la estadística frecuentista estándar, el parámetro es fijo y lo que tiene una tasa de éxito a largo plazo es el procedimiento para construir intervalos.

Otro error es usar la fórmula equivocada sin comprobar las condiciones. Un intervalo $z$, un intervalo $t$ y un intervalo para una proporción no usan el mismo error estándar.

Los estudiantes también confunden un intervalo de confianza para un parámetro con la dispersión de los datos brutos. Un intervalo de confianza trata sobre la incertidumbre de una estimación, no sobre dónde caen la mayoría de las observaciones individuales.

Cuándo se usan los intervalos de confianza

Los intervalos de confianza aparecen en encuestas, experimentos, control de calidad, medicina, economía y en informes de datos del día a día. Son útiles siempre que se usa una muestra para decir algo sobre una población más grande.

En la práctica, el intervalo importa más cuando lo comparas con un valor objetivo o con otra estimación. Un intervalo estrecho respalda una conclusión más precisa que uno amplio.

Prueba un problema similar

Prueba tu propia versión con $\bar{x} = 72$, $\sigma = 10$ y $n = 100$ para un intervalo de confianza del $95\%$. Luego cambia solo el tamaño de la muestra y observa qué pasa con el margen de error. Esa es una de las formas más rápidas de desarrollar intuición sobre por qué las muestras más grandes suelen producir intervalos más ajustados.