Teorema de Pitágoras — Fórmula y Ejercicios

El teorema de Pitágoras dice que, en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Si $a$ y $b$ son los catetos y $c$ es la hipotenusa, la fórmula es

$$a^2 + b^2 = c^2$$

Solo puedes usarla si hay un ángulo de $90^\circ$. La hipotenusa es el lado opuesto a ese ángulo y también el más largo.

Qué dice la fórmula y cuándo se usa

La idea importante no es $a + b = c$, sino la relación entre cuadrados. El teorema compara áreas asociadas a los lados, por eso aparecen $a^2$, $b^2$ y $c^2$.

Si el triángulo no es rectángulo, esta fórmula no se aplica tal como está. Esa condición es la primera comprobación que conviene hacer antes de sustituir números.

Cómo identificar catetos e hipotenusa

Antes de calcular, conviene nombrar bien los lados. Eso evita casi todos los errores de planteamiento.

• Catetos: los dos lados que forman el ángulo recto.
• Hipotenusa: el lado que queda enfrente del ángulo recto.

Si colocas otro lado en lugar de $c$, la cuenta puede verse ordenada, pero será incorrecta desde el inicio.

Ejemplo resuelto: hallar la hipotenusa

Supón un triángulo rectángulo con catetos de $6$ cm y $8$ cm. Queremos hallar la hipotenusa.

Planteamos la fórmula:

$$6^2 + 8^2 = c^2$$

Calculamos:

$$36 + 64 = c^2$$

Sumamos:

$$100 = c^2$$

Tomamos la raíz cuadrada positiva:

$$c = 10$$

La hipotenusa mide $10$ cm. El resultado tiene sentido porque debe ser mayor que $6$ cm y $8$ cm.

Errores comunes al aplicar el teorema

El error más frecuente es usar el teorema en un triángulo que no es rectángulo. Sin ángulo recto, esta relación no vale en general.

Otro error típico es confundir la hipotenusa con un cateto. Recuerda que $c$ no es cualquier lado: es el lado opuesto al ángulo recto.

También conviene distinguir qué lado buscas. Si quieres hallar un cateto, no debes sumar dos cuadrados conocidos. Por ejemplo, si conoces $c$ y $b$, entonces

$$a^2 = c^2 - b^2$$

Un fallo más es detenerse demasiado pronto. Si llegas a $c^2 = 100$, la longitud buscada es $c = 10$, no $100$.

Dónde se usa el teorema de Pitágoras

El teorema de Pitágoras aparece en geometría básica, en diagonales de rectángulos y en problemas de distancia en una cuadrícula o en el plano cartesiano.

Por ejemplo, si avanzas $3$ unidades en horizontal y $4$ en vertical, la distancia directa entre el inicio y el final es

$$\sqrt{3^2 + 4^2} = 5$$

La misma idea reaparece después en la fórmula de distancia entre dos puntos.

Qué conviene recordar

Antes de usar la fórmula, revisa dos cosas: que exista un ángulo recto y que hayas identificado bien la hipotenusa. Si esas condiciones se cumplen, el teorema suele ser la herramienta correcta.

Prueba un ejercicio similar

Intenta resolver un triángulo rectángulo con catetos de $5$ y $12$. Si aplicas bien la fórmula, deberías obtener una hipotenusa de $13$.

Si quieres ir un paso más allá, explora después un problema de distancia entre dos puntos: usa la misma idea, pero ahora en el plano.