Satz des Pythagoras — Formel und Übungen

Der Satz des Pythagoras besagt, dass in einem rechtwinkligen Dreieck das Quadrat der Hypotenuse gleich der Summe der Quadrate der Katheten ist. Wenn $a$ und $b$ die Katheten und $c$ die Hypotenuse sind, lautet die Formel:

$a^2 + b^2 = c^2$

Du kannst sie nur anwenden, wenn ein Winkel von $90^\circ$ vorhanden ist. Die Hypotenuse ist die Seite gegenüber diesem Winkel und gleichzeitig die längste Seite.

Was die Formel aussagt und wann sie verwendet wird

Der entscheidende Punkt ist nicht $a + b = c$, sondern die Beziehung zwischen den Quadraten. Der Satz vergleicht die Flächen, die den Seiten zugeordnet sind, weshalb $a^2$, $b^2$ und $c^2$ vorkommen.

Wenn das Dreieck nicht rechtwinklig ist, lässt sich diese Formel nicht so anwenden. Diese Bedingung ist die erste Prüfung, die man durchführen sollte, bevor man Zahlen einsetzt.

So identifizierst du Katheten und Hypotenuse

Bevor du rechnest, ist es sinnvoll, die Seiten richtig zu benennen. Das vermeidet fast alle Fehler bei der Aufstellung der Gleichung.

• Katheten: die zwei Seiten, die den rechten Winkel bilden.
• Hypotenuse: die Seite, die dem rechten Winkel gegenüberliegt.

Wenn du eine andere Seite anstelle von $c$ einsetzt, mag die Rechnung zwar ordentlich aussehen, ist aber von Beginn an falsch.

Gelöstes Beispiel: Die Hypotenuse berechnen

Stell dir ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten $6$ cm und $8$ cm vor. Wir wollen die Hypotenuse finden.

Wir stellen die Formel auf:

$6^2 + 8^2 = c^2$

Wir berechnen:

$36 + 64 = c^2$

Wir addieren:

$100 = c^2$

Wir ziehen die positive Quadratwurzel:

$c = 10$

Die Hypotenuse ist $10$ cm lang. Das Ergebnis ist plausibel, da sie länger sein muss als $6$ cm und $8$ cm.

Häufige Fehler bei der Anwendung des Satzes

Der häufigste Fehler ist die Anwendung des Satzes in einem Dreieck, das nicht rechtwinklig ist. Ohne rechten Winkel gilt diese Beziehung im Allgemeinen nicht.

Ein weiterer typischer Fehler ist die Verwechslung der Hypotenuse mit einer Kathete. Denk daran, dass $c$ nicht irgendeine Seite ist: es ist die Seite gegenüber dem rechten Winkel.

Es ist zudem wichtig zu unterscheiden, welche Seite gesucht ist. Wenn du eine Kathete berechnen möchtest, darfst du nicht einfach zwei bekannte Quadrate addieren. Wenn du zum Beispiel $c$ und $b$ kennst, gilt dann:

$a^2 = c^2 - b^2$

Ein weiterer Fehler ist es, zu früh aufzuhören. Wenn du bei $c^2 = 100$ ankommst, ist die gesuchte Länge $c = 10$ und nicht $100$.

Wo wird der Satz des Pythagoras angewendet?

Der Satz des Pythagoras taucht in der grundlegenden Geometrie auf, bei Diagonalen von Rechtecken und bei Distanzproblemen in einem Gitter oder in der kartesischen Ebene.

Wenn du zum Beispiel $3$ Einheiten horizontal und $4$ Einheiten vertikal vorankommst, ist die direkte Distanz zwischen Start und Ende:

$\sqrt{3^2 + 4^2} = 5$

Dieselbe Idee findet sich später in der Abstandsformel zwischen zwei Punkten wieder.

Was man sich merken sollte

Bevor du die Formel benutzt, überprüfe zwei Dinge: Ob ein rechter Winkel existiert und ob du die Hypotenuse richtig identifiziert hast. Wenn diese Bedingungen erfüllt sind, ist der Satz des Pythagoras in der Regel das richtige Werkzeug.

Probiere eine ähnliche Übung aus

Versuche, ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten $5$ und $12$ zu lösen. Wenn du die Formel richtig anwendest, solltest du eine Hypotenuse von $13$ erhalten.

Wenn du noch einen Schritt weitergehen willst, schau dir danach ein Problem zur Distanz zwischen zwei Punkten an: Nutze die gleiche Idee, aber diesmal in der Ebene.