仕事・エネルギー・仕事率 — 公式と例題

仕事、エネルギー、仕事率は、物理で同じ現象を別の側面から表したものです。仕事は力が物体を移動させることで移されるエネルギー、エネルギーは系の中でどれだけ変化を起こせるか、仕事率はその移動がどれくらいの速さで起こるかを表します。

1つだけ違いを覚えるなら、こう考えてください。仕事は「移動」、エネルギーは「量」、仕事率は「速さ」です。この区別だけで、初学者の多くの混乱は防げます。

仕事・エネルギー・仕事率の公式

一定の力が変位にわたってはたらくとき、

$$W = \vec{F} \cdot \Delta \vec{r} = Fd\cos\theta$$

ここで、$\theta$ は力と変位のなす角です。力が運動の向きと同じなら、仕事は正になります。力が運動に逆らう向きなら、仕事は負になります。運動に対して常に垂直なら、仕事は 0 です。

力学でよく使うエネルギーの公式は、次の2つです。

$$K = \frac{1}{2}mv^2$$

また、地表付近では

$$\Delta U_g = mg\Delta h$$

1つ目は運動エネルギーです。2つ目は重力による位置エネルギーの変化です。位置エネルギーの基準面は自分で決められますが、多くの問題で重要なのは変化量 $\Delta U_g$ です。

平均仕事率は

$$P_{avg} = \frac{W}{\Delta t}$$

ある瞬間において、力が与える力学的仕事率は

$$P = \vec{F} \cdot \vec{v}$$

この瞬間的な形は、力と速度が同じ瞬間の値であるときにだけ使います。

仕事・エネルギー・仕事率のつながり

仕事は、力とエネルギーを結びつける量です。物体にはたらく合計の仕事が正なら、その物体の運動エネルギーは増加します。合計の仕事が負なら、運動エネルギーは減少します。

仕事率だけでは、エネルギーがどれだけ変化したかはわかりません。わかるのは、その変化がどれだけ速く起こったかです。同じ量の仕事をする2台の機械があっても、より短い時間で行うほうが仕事率は大きくなります。

式で書くと、この運動エネルギーとの関係は仕事とエネルギーの定理です。

$$W_{net} = \Delta K$$

ここでいうのは、1つの力だけの仕事ではなく、合計の仕事です。

例題：リュックを持ち上げる

質量 $10\,\mathrm{kg}$ のリュックを、ほぼ一定の速さで $2\,\mathrm{m}$ 真上に $4\,\mathrm{s}$ かけて持ち上げるとします。

速さがほぼ一定なので、あなたが上向きに加える力は、リュックの重さにほぼ等しくなります。

$$F \approx mg = (10)(9.8) = 98\,\mathrm{N}$$

力と変位は同じ向きなので、$\theta = 0$、したがって $\cos\theta = 1$ です。あなたがリュックにした仕事は

$$W_{you} = Fd = (98)(2) = 196\,\mathrm{J}$$

同じ持ち上げによって、リュックの重力による位置エネルギーは

$$\Delta U_g = mg\Delta h = (10)(9.8)(2) = 196\,\mathrm{J}$$

だけ増加します。

したがってこの場合、あなたがした仕事は重力による位置エネルギーに変わります。

次に、平均仕事率を計算します。

$$P_{avg} = \frac{W}{\Delta t} = \frac{196}{4} = 49\,\mathrm{W}$$

リュックは $196\,\mathrm{J}$ の重力による位置エネルギーを得て、あなたはそのエネルギーを平均 $49\,\mathrm{J/s}$、つまり $49\,\mathrm{W}$ の割合で移したことになります。

ここで1つ大事な点があります。リュックにはたらく合計の仕事は、あなたの正の仕事と重力の負の仕事がつり合うため、ほぼ 0 です。これはリュックがほぼ一定の速さで動いていることと一致しており、運動エネルギーがほとんど変化しないことを意味します。

仕事・エネルギー・仕事率の問題でよくあるミス

• 力が変位の向きと一致していないのに $W = Fd$ を使ってしまうこと。角度があるなら、一定の力に対する正しい式は $W = Fd\cos\theta$ です。
• エネルギーと仕事率を混同すること。エネルギーは「どれだけ」、仕事率は「どれくらい速く」を表します。
• 公式の成り立つ条件を忘れること。たとえば、$W = Fd\cos\theta$ は一定の力に対する簡単な形で、$\Delta U_g = mg\Delta h$ は地表付近での近似です。
• 正の仕事なら必ず速さが増すと考えてしまうこと。運動エネルギーの変化を決めるのは合計の仕事です。
• ワットとジュールを同じ単位のように扱うこと。ジュールはエネルギー、ワットは 1 秒あたりのジュールです。

仕事・エネルギー・仕事率はどこで使う？

これらの考え方は、力・運動・エネルギー移動をまとめて考える場面ならどこでも現れます。よくある例としては、物体を持ち上げる、ブレーキをかける、モーター、階段を上る、落下運動、機械の効率などがあります。

学校の物理では、この単元は仕事とエネルギーの定理や、多くのエネルギー保存の問題の土台にもなります。問題が本当に何を求めているのかがわかれば、立式はたいていずっと簡単になります。

クイックチェック：問題が求めている量はどれ？

次の3つを自分に問いかけてください。

1. 力によってどれだけエネルギーが移されたかを聞いている？ それなら仕事を使います。
2. 蓄えられたエネルギーや、運動・位置によるエネルギーの変化を聞いている？ それならエネルギーの式を使います。
3. その移動がどれくらい速く起こったかを聞いている？ それなら仕事率を使います。

この確認をしておけば、式変形を始める前に多くの取り違えを防げます。

似た問題に挑戦してみよう

リュックの例を自分でも少し変えてやってみましょう。同じリュックを同じ高さまで持ち上げるのに、今度は $4\,\mathrm{s}$ ではなく $2\,\mathrm{s}$ かけるとします。仕事とエネルギーの変化は同じままですが、平均仕事率は同じではありません。解いて、元のケースと比べてみてください。