Travail, énergie et puissance — Formules et exemples

Le travail, l’énergie et la puissance décrivent différentes parties d’une même idée en physique. Le travail est une énergie transférée par une force au cours d’un déplacement, l’énergie indique ce qui peut changer dans un système, et la puissance indique à quelle vitesse ce transfert se produit.

Si vous ne retenez qu’une seule distinction, gardez celle-ci : le travail est un transfert, l’énergie est une quantité, et la puissance est un débit. Cette seule vérification permet d’éviter la plupart des erreurs de débutant.

Formules du travail, de l’énergie et de la puissance

Pour une force constante agissant sur un déplacement,

$$W = \vec{F} \cdot \Delta \vec{r} = Fd\cos\theta$$

Ici, $\theta$ est l’angle entre la force et le déplacement. Si la force est dirigée dans le sens du mouvement, le travail est positif. Si elle est dirigée à l’opposé du mouvement, le travail est négatif. Si elle reste perpendiculaire au mouvement, le travail est nul.

En mécanique, deux formules d’énergie courantes sont

$$K = \frac{1}{2}mv^2$$

et, près de la surface de la Terre,

$$\Delta U_g = mg\Delta h$$

La première est l’énergie cinétique. La seconde est la variation de l’énergie potentielle de pesanteur. Le niveau de référence de l’énergie potentielle est choisi librement, mais dans la plupart des problèmes, c’est la variation $\Delta U_g$ qui compte.

La puissance moyenne est

$$P_{avg} = \frac{W}{\Delta t}$$

À un instant donné, la puissance mécanique fournie par une force est

$$P = \vec{F} \cdot \vec{v}$$

Cette forme instantanée n’est utile que si l’on parle de la force et de la vitesse au même instant.

Comment le travail, l’énergie et la puissance s’articulent

Le travail est le lien entre la force et l’énergie. Si le travail net sur un objet est positif, son énergie cinétique augmente. Si le travail net est négatif, son énergie cinétique diminue.

La puissance n’indique pas à elle seule de combien l’énergie a changé. Elle indique à quelle vitesse ce changement s’est produit. Deux machines peuvent fournir la même quantité de travail, mais celle qui le fait en moins de temps a une puissance plus grande.

En notation mathématique, ce lien avec l’énergie cinétique est le théorème travail-énergie :

$$W_{net} = \Delta K$$

Il s’agit du travail net, et non du travail d’une seule force prise isolément.

Exemple résolu : soulever un sac à dos

Supposons que vous souleviez un sac à dos de $10\,\mathrm{kg}$ verticalement sur une hauteur de $2\,\mathrm{m}$ en $4\,\mathrm{s}$ à vitesse à peu près constante.

Comme la vitesse est approximativement constante, la force verticale que vous exercez est approximativement égale au poids du sac :

$$F \approx mg = (10)(9.8) = 98\,\mathrm{N}$$

La force et le déplacement sont dans la même direction, donc $\theta = 0$ et $\cos\theta = 1$. Le travail que vous effectuez sur le sac est

$$W_{you} = Fd = (98)(2) = 196\,\mathrm{J}$$

Ce même soulèvement augmente l’énergie potentielle de pesanteur du sac de

$$\Delta U_g = mg\Delta h = (10)(9.8)(2) = 196\,\mathrm{J}$$

Donc, dans ce cas, le travail que vous fournissez devient de l’énergie potentielle de pesanteur.

Calculons maintenant la puissance moyenne :

$$P_{avg} = \frac{W}{\Delta t} = \frac{196}{4} = 49\,\mathrm{W}$$

Le sac à dos gagne $196\,\mathrm{J}$ d’énergie potentielle de pesanteur, et vous transférez cette énergie à un débit moyen de $49\,\mathrm{J/s}$, soit $49\,\mathrm{W}$.

Un point subtil est important ici. Le travail net sur le sac à dos est approximativement nul, car votre travail positif est compensé par le travail négatif de la gravité. Cela est cohérent avec le fait que le sac se déplace à vitesse presque constante, donc son énergie cinétique varie très peu.

Erreurs fréquentes dans les problèmes de travail, d’énergie et de puissance

• Utiliser $W = Fd$ lorsque la force n’est pas dirigée selon le déplacement. S’il y a un angle, la bonne formule pour une force constante est $W = Fd\cos\theta$.
• Confondre énergie et puissance. L’énergie répond à « combien » ; la puissance répond à « à quelle vitesse ».
• Oublier la condition d’application d’une formule. Par exemple, $W = Fd\cos\theta$ est la forme simple pour une force constante, et $\Delta U_g = mg\Delta h$ est l’approximation valable près de la surface terrestre.
• Penser qu’un travail positif signifie toujours que la vitesse augmente. C’est le travail net qui détermine la variation de l’énergie cinétique.
• Considérer les watts et les joules comme la même unité. Le joule est une unité d’énergie ; le watt est un joule par seconde.

Où le travail, l’énergie et la puissance sont utilisés

Ces idées apparaissent dès qu’on s’intéresse en même temps aux forces, au mouvement et au transfert d’énergie. Les cas courants incluent le levage d’objets, le freinage, les moteurs, la montée d’escaliers, les corps en chute et le rendement des machines.

En physique au lycée ou à l’université, ce sujet sert aussi de base au théorème travail-énergie et à de nombreux problèmes de conservation de l’énergie. Une fois que vous avez identifié la grandeur réellement demandée, la mise en équation devient généralement beaucoup plus courte.

Vérification rapide : quelle grandeur le problème demande-t-il ?

Posez-vous ces trois questions :

1. Le problème demande-t-il quelle quantité d’énergie a été transférée par une force ? Utilisez le travail.
2. Demande-t-il une énergie stockée ou une variation d’énergie liée au mouvement ou à la position ? Utilisez une équation d’énergie.
3. Demande-t-il à quelle vitesse le transfert s’est produit ? Utilisez la puissance.

Cette vérification évite la plupart des confusions avant même de commencer l’algèbre.

Essayez un problème similaire

Essayez votre propre version de l’exemple du sac à dos, mais soulevez le même sac à la même hauteur en $2\,\mathrm{s}$ au lieu de $4\,\mathrm{s}$. Le travail et la variation d’énergie restent les mêmes, mais la puissance moyenne change. Résolvez-le et comparez le résultat au cas initial.