Praca, energia i moc — wzory i przykłady

Praca, energia i moc opisują różne części tej samej historii w fizyce. Praca to energia przekazana przez siłę podczas przemieszczenia, energia mówi, jak wiele może się zmienić w układzie, a moc mówi, jak szybko zachodzi ten przekaz.

Jeśli masz zapamiętać tylko jedno rozróżnienie, użyj tego: praca to przekaz, energia to wielkość, a moc to tempo. To jedno sprawdzenie wyjaśnia większość błędów początkujących.

Wzory na pracę, energię i moc

Dla stałej siły działającej na pewnym przemieszczeniu,

$$W = \vec{F} \cdot \Delta \vec{r} = Fd\cos\theta$$

Tutaj $\theta$ to kąt między siłą a przemieszczeniem. Jeśli siła jest skierowana zgodnie z ruchem, praca jest dodatnia. Jeśli jest skierowana przeciwnie do ruchu, praca jest ujemna. Jeśli pozostaje prostopadła do ruchu, praca jest równa zeru.

W mechanice dwa często używane wzory na energię to

$$K = \frac{1}{2}mv^2$$

oraz, blisko powierzchni Ziemi,

$$\Delta U_g = mg\Delta h$$

Pierwszy to energia kinetyczna. Drugi to zmiana energii potencjalnej grawitacyjnej. Poziom odniesienia dla energii potencjalnej wybierasz sam, ale w większości zadań liczy się zmiana $\Delta U_g$.

Moc średnia wynosi

$$P_{avg} = \frac{W}{\Delta t}$$

W danej chwili moc mechaniczna dostarczana przez siłę wynosi

$$P = \vec{F} \cdot \vec{v}$$

Ta chwilowa postać jest użyteczna tylko wtedy, gdy masz na myśli siłę i prędkość w tej samej chwili.

Jak praca, energia i moc łączą się ze sobą

Praca jest ogniwem łączącym siłę i energię. Jeśli praca wypadkowa działająca na obiekt jest dodatnia, jego energia kinetyczna rośnie. Jeśli praca wypadkowa jest ujemna, jego energia kinetyczna maleje.

Moc sama w sobie nie mówi, o ile zmieniła się energia. Mówi, jak szybko zaszła ta zmiana. Dwie maszyny mogą wykonać tę samą pracę, ale ta, która zrobi to w krótszym czasie, ma większą moc.

W zapisie symbolicznym ten związek z energią kinetyczną to twierdzenie o pracy i energii:

$$W_{net} = \Delta K$$

Chodzi tu o pracę wypadkową, a nie tylko o działanie jednej siły.

Przykład rozwiązany: podnoszenie plecaka

Załóżmy, że podnosisz plecak o masie $10\,\mathrm{kg}$ pionowo w górę na wysokość $2\,\mathrm{m}$ w czasie $4\,\mathrm{s}$ ze w przybliżeniu stałą prędkością.

Ponieważ prędkość jest w przybliżeniu stała, skierowana w górę siła, którą działasz, jest w przybliżeniu równa ciężarowi plecaka:

$$F \approx mg = (10)(9.8) = 98\,\mathrm{N}$$

Siła i przemieszczenie są skierowane w tę samą stronę, więc $\theta = 0$ i $\cos\theta = 1$. Praca wykonana przez ciebie na plecaku wynosi

$$W_{you} = Fd = (98)(2) = 196\,\mathrm{J}$$

To samo podniesienie zwiększa energię potencjalną grawitacyjną plecaka o

$$\Delta U_g = mg\Delta h = (10)(9.8)(2) = 196\,\mathrm{J}$$

W tym przypadku wykonana przez ciebie praca zamienia się więc w energię potencjalną grawitacyjną.

Teraz oblicz moc średnią:

$$P_{avg} = \frac{W}{\Delta t} = \frac{196}{4} = 49\,\mathrm{W}$$

Plecak zyskuje $196\,\mathrm{J}$ energii potencjalnej grawitacyjnej, a ty przekazujesz tę energię ze średnią szybkością $49\,\mathrm{J/s}$, czyli $49\,\mathrm{W}$.

Jeden subtelny punkt ma tu znaczenie. Praca wypadkowa działająca na plecak jest w przybliżeniu równa zeru, ponieważ twoja dodatnia praca jest równoważona przez ujemną pracę siły grawitacji. To zgadza się z tym, że plecak porusza się z prawie stałą prędkością, więc jego energia kinetyczna nie zmienia się znacząco.

Typowe błędy w zadaniach o pracy, energii i mocy

• Używanie $W = Fd$ wtedy, gdy siła nie jest skierowana wzdłuż przemieszczenia. Jeśli występuje kąt, poprawna postać dla stałej siły to $W = Fd\cos\theta$.
• Mylenie energii z mocą. Energia odpowiada na pytanie „ile”, a moc na pytanie „jak szybko”.
• Zapominanie o warunku stojącym za wzorem. Na przykład $W = Fd\cos\theta$ to prosta postać dla stałej siły, a $\Delta U_g = mg\Delta h$ to przybliżenie obowiązujące blisko powierzchni Ziemi.
• Myślenie, że dodatnia praca zawsze oznacza wzrost prędkości. O zmianie energii kinetycznej decyduje praca wypadkowa.
• Traktowanie watów i dżuli jako tej samej jednostki. Dżul to jednostka energii, a wat to dżul na sekundę.

Gdzie wykorzystuje się pracę, energię i moc

Te pojęcia pojawiają się wszędzie tam, gdzie jednocześnie liczą się siły, ruch i przekaz energii. Typowe przykłady to podnoszenie przedmiotów, hamowanie, silniki, wchodzenie po schodach, spadające ciała i sprawność maszyn.

W szkolnej fizyce ten temat jest też podstawą twierdzenia o pracy i energii oraz wielu zadań z zasady zachowania energii. Gdy już wiesz, o jaką wielkość naprawdę pyta zadanie, jego zapis zwykle staje się dużo krótszy.

Szybkie sprawdzenie: jakiej wielkości szuka zadanie?

Zadaj sobie te trzy pytania:

1. Czy zadanie pyta, ile energii zostało przekazane przez siłę? Użyj pracy.
2. Czy pyta o energię związaną z ruchem albo położeniem, magazynowaną lub zmieniającą się? Użyj równania energii.
3. Czy pyta, jak szybko nastąpił przekaz? Użyj mocy.

To sprawdzenie zapobiega większości pomyłek jeszcze zanim zaczniesz przekształcenia algebraiczne.

Spróbuj podobnego zadania

Spróbuj rozwiązać własną wersję przykładu z plecakiem, ale podnieś ten sam plecak na tę samą wysokość w czasie $2\,\mathrm{s}$ zamiast $4\,\mathrm{s}$. Praca i zmiana energii pozostają takie same, ale moc średnia już nie. Rozwiąż to i porównaj wynik z pierwotnym przypadkiem.