三角函数 — sin cos tan 公式大全

三角函数用来描述角度和比例的关系。大多数入门题先看三个量：$\sin \theta$、$\cos \theta$ 和 $\tan \theta$。如果你正在找“三角函数 sin cos tan 公式”，先记住它们在直角三角形中的定义，再补上一个常用恒等式，已经够做很多基础题。

最常用的是这四条：

$$\sin \theta = \frac{\text{对边}}{\text{斜边}}, \qquad \cos \theta = \frac{\text{邻边}}{\text{斜边}}, \qquad \tan \theta = \frac{\text{对边}}{\text{邻边}}$$

再加上一条常用关系：

$$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \qquad (\cos \theta \ne 0)$$

先把这四条用熟，再去记更多变形公式，效率更高。

sin、cos、tan 到底是什么意思

在直角三角形中，固定一个锐角 $\theta$ 后，三角函数说的是边与边之间的比例，不是某一条边本身。也因为它是比例，只要角度相同，三角形放大或缩小，$\sin \theta$、$\cos \theta$、$\tan \theta$ 的值都不变。

最常见的理解方式是：

$$\sin \theta = \frac{\text{对边}}{\text{斜边}}$$ $$\cos \theta = \frac{\text{邻边}}{\text{斜边}}$$ $$\tan \theta = \frac{\text{对边}}{\text{邻边}}$$

这里的“对边”和“邻边”都要相对于角 $\theta$ 来看。角一换，对边和邻边也会跟着换，这是新手最容易混掉的地方。

如果题目讨论的不是锐角，而是任意角，这时更稳妥的定义来自单位圆。单位圆上与角 $\theta$ 对应的点坐标是 $(\cos \theta, \sin \theta)$，所以 $\sin$ 和 $\cos$ 不只属于直角三角形题。

三角函数常用公式，先记这几组

“公式大全”看起来很多，但入门阶段最值得先记的是下面三组。

第一组是勾股恒等式：

$$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$$

第二组是正切和正弦、余弦的关系：

$$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \qquad (\cos \theta \ne 0)$$

第三组是特殊角的常见值：

$$\sin 30^\circ = \frac{1}{2}, \qquad \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}, \qquad \tan 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}$$ $$\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}, \qquad \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}, \qquad \tan 45^\circ = 1$$ $$\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}, \qquad \cos 60^\circ = \frac{1}{2}, \qquad \tan 60^\circ = \sqrt{3}$$

很多基础题最后都会落到 $30^\circ$、$45^\circ$、$60^\circ$ 这几个角，所以这些值值得直接记住。

三角函数例题：已知斜边和对边，怎么求 sin cos tan

设一个直角三角形中，某个锐角是 $\theta$，斜边长是 $10$，对边长是 $6$。求 $\sin \theta$、$\cos \theta$ 和 $\tan \theta$。

先求最直接的：

$$\sin \theta = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$$

要算 $\cos \theta$ 和 $\tan \theta$，还需要邻边。因为这是直角三角形，可以先用勾股定理：

$$\text{邻边} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = 8$$

再代回定义：

$$\cos \theta = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$$ $$\tan \theta = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$$

这个例子里最关键的不是算术，而是顺序：先固定角，再分清对边和邻边，最后按定义代入。只要这一步没错，三角函数题通常就不会乱。

三角函数最常见的错误

把直角三角形定义硬套到所有角

$\sin \theta = \frac{\text{对边}}{\text{斜边}}$ 这个说法适合直角三角形里的锐角。到了钝角、负角或大于 $360^\circ$ 的角，应该改用单位圆理解。

忘记 $\tan \theta$ 的条件

因为

$$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$$

所以当 $\cos \theta = 0$ 时，$\tan \theta$ 没有定义。这个条件不能省略，否则很容易把无定义的值当成正常结果。

把对边和邻边认反

对边、邻边都必须相对于指定角 $\theta$ 来判断，不是图上固定哪条边永远叫“对边”。

只背数值，不检查是否合理

例如在锐角范围内，$\sin \theta$ 和 $\cos \theta$ 都是正数，而且不会大于 $1$。如果你算出了 $\sin \theta = 1.4$，那一定前面有步骤出错。

三角函数一般用在哪些题里

三角函数最常出现在直角三角形求边求角、单位圆、波动与周期模型、坐标分解，以及后续的微积分里。只要题目同时出现角度、旋转、高度、斜率或周期变化，它通常就会出现。

如果问题的核心是“已知一个角和一条边，求另一条边”，通常先想 $\sin$、$\cos$、$\tan$。如果问题已经不是直角三角形，而是在处理一般角度、图像或恒等变形，就要切到单位圆和恒等式的视角。

下一步：自己做一个小练习

试着自己做一个最小练习：在直角三角形里取一个锐角 $\theta$，设斜边为 $13$，对边为 $5$，求 $\sin \theta$、$\cos \theta$ 和 $\tan \theta$。

如果你想继续往下练，可以再看一题“已知一个角和一条边，怎样反过来求边长”的版本。能把定义、勾股定理和结果检查连起来，三角函数就算真正入门了。