삼각함수 — sin cos tan 공식 총정리

삼각함수는 각도와 비율의 관계를 설명하는 데 사용됩니다. 대부분의 입문 문제는 먼저 세 가지 양인 $\sin \theta$, $\cos \theta$, $\tan \theta$을 살피는 것부터 시작합니다. "삼각함수 sin cos tan 공식"을 찾고 계신다면, 우선 직각삼각형에서의 정의를 기억하고 자주 쓰이는 항등식 하나만 추가해 보세요. 그것만으로도 기초 문제는 충분히 풀 수 있습니다.

가장 많이 쓰이는 네 가지 공식은 다음과 같습니다.

$\sin \theta = \frac{\text{对边}}{\text{斜边}}, \qquad \cos \theta = \frac{\text{邻边}}{\text{斜边}}, \qquad \tan \theta = \frac{\text{对边}}{\text{邻边}}$

여기에 자주 쓰이는 관계식 하나를 더합니다.

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \qquad (\cos \theta \ne 0)$

우선 이 네 가지를 능숙하게 사용하는 연습을 한 뒤, 더 복잡한 변형 공식을 외우는 것이 훨씬 효율적입니다.

sin, cos, tan은 정확히 무엇을 의미할까요?

직각삼각형에서 한 예각 $\theta$을 고정했을 때, 삼각함수는 변 자체의 길이가 아니라 '변과 변 사이의 비율'을 말합니다. 비율이기 때문에 각도만 같다면 삼각형이 커지거나 작아져도 $\sin \theta$, $\cos \theta$, $\tan \theta$의 값은 변하지 않습니다.

가장 일반적인 이해 방식은 다음과 같습니다.

$\sin \theta = \frac{\text{对边}}{\text{斜边}}$

$\cos \theta = \frac{\text{邻边}}{\text{斜边}}$

$\tan \theta = \frac{\text{对边}}{\text{邻边}}$

여기서 '대변(마주 보는 변)'과 '인접변(이웃한 변)'은 반드시 각 $\theta$를 기준으로 생각해야 합니다. 기준 각도가 바뀌면 대변과 인접변도 함께 바뀌는데, 이 부분이 초보자들이 가장 많이 헷갈리는 지점입니다.

만약 문제가 예각이 아니라 임의의 각을 다룬다면, 단위원을 이용한 정의가 더 안전합니다. 단위원 위에서 각 $\theta$에 대응하는 점의 좌표는 $(\cos \theta, \sin \theta)$이므로, $\sin$와 $\cos$은 단순히 직각삼각형 문제에만 국한되지 않습니다.

삼각함수 주요 공식, 이것부터 외우세요

"공식 총정리"라고 하면 양이 많아 보이지만, 입문 단계에서 가장 먼저 외워야 할 것은 다음 세 그룹입니다.

첫 번째 그룹은 피타고라스 항등식입니다.

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$

두 번째 그룹은 탄젠트와 사인, 코사인의 관계입니다.

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \qquad (\cos \theta \ne 0)$

세 번째 그룹은 특수각의 주요 값들입니다.

$\sin 30^\circ = \frac{1}{2}, \qquad \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}, \qquad \tan 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}, \qquad \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}, \qquad \tan 45^\circ = 1$

$\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}, \qquad \cos 60^\circ = \frac{1}{2}, \qquad \tan 60^\circ = \sqrt{3}$

많은 기초 문제가 결국 $30^\circ$, $45^\circ$, $60^\circ$와 같은 각도로 귀결되므로, 이 값들은 직접 외워두는 것이 좋습니다.

삼각함수 예제: 빗변과 대변을 알 때 sin cos tan 구하기

어떤 직각삼각형에서 예각이 $\theta$이고, 빗변의 길이가 $10$, 대변의 길이가 $6$라고 가정해 봅시다. 이때 $\sin \theta$, $\cos \theta$, $\tan \theta$를 구해 보겠습니다.

먼저 가장 직접적인 값부터 구합니다.

$\sin \theta = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$

$\cos \theta$과 $\tan \theta$을 계산하려면 인접변의 길이가 필요합니다. 직각삼각형이므로 피타고라스 정리를 이용합니다.

$\text{邻边} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = 8$

이제 다시 정의에 대입합니다.

$\cos \theta = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$

$\tan \theta = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$

이 예제에서 가장 중요한 것은 단순한 계산이 아니라 '순서'입니다. 먼저 각을 고정하고, 대변과 인접변을 구분한 뒤, 마지막으로 정의에 따라 대입하는 것입니다. 이 단계만 정확하다면 삼각함수 문제는 어렵지 않습니다.

삼각함수에서 가장 자주 하는 실수

직각삼각형 정의를 모든 각에 무리하게 적용하는 경우

$\sin \theta = \frac{\text{对边}}{\text{斜边}}$라는 설명은 직각삼각형 내의 예각에만 적합합니다. 둔각, 음수 각도 또는 $360^\circ$보다 큰 각도의 경우에는 단위원으로 이해해야 합니다.

$\tan \theta$의 조건을 잊는 경우

다음 관계가 성립하므로:

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$

$\cos \theta = 0$일 때 $\tan \theta$는 정의되지 않습니다. 이 조건을 간과하면 정의되지 않은 값을 정상적인 결과로 오해하기 쉽습니다.

대변과 인접변을 반대로 생각하는 경우

대변과 인접변은 반드시 지정된 각 $\theta$을 기준으로 판단해야 합니다. 그림에서 특정 변이 항상 '대변'이 되는 것이 아닙니다.

수치만 외우고 결과의 타당성을 확인하지 않는 경우

예를 들어 예각 범위에서 $\sin \theta$와 $\cos \theta$는 항상 양수이며, $1$보다 클 수 없습니다. 만약 계산 결과가 $\sin \theta = 1.4$로 나왔다면, 앞선 단계에서 반드시 오류가 있었음을 의미합니다.

삼각함수는 주로 어떤 문제에 쓰일까요?

삼각함수는 직각삼각형의 변과 각 구하기, 단위원, 파동 및 주기 모델, 좌표 분해, 그리고 이후의 미적분학에서 매우 자주 등장합니다. 문제에 각도, 회전, 높이, 기울기 또는 주기적 변화가 동시에 나타난다면 대부분 삼각함수가 사용됩니다.

문제의 핵심이 "한 각과 한 변을 알 때 다른 변을 구하는 것"이라면 우선 $\sin$, $\cos$, $\tan$을 떠올리세요. 만약 직각삼각형을 넘어 일반적인 각도, 그래프 또는 항등식 변형을 다루는 문제라면 단위원과 항등식의 관점으로 전환해야 합니다.

다음 단계: 간단한 연습 문제 풀기

직접 작은 연습 문제를 풀어보세요. 직각삼각형에서 예각 $\theta$을 잡고, 빗변을 $13$, 대변을 $5$이라고 할 때 $\sin \theta$, $\cos \theta$, $\tan \theta$을 구해 보세요.

더 연습하고 싶다면 "한 각과 한 변을 알 때, 반대로 변의 길이를 구하는 방법"에 대한 문제를 찾아보세요. 정의, 피타고라스 정리, 그리고 결과 검토까지 연결할 수 있다면 삼각함수에 제대로 입문하신 것입니다.