Τριγωνομετρία — Οδηγός τύπων sin, cos, tan

Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις χρησιμοποιούνται για να περιγράψουν τη σχέση μεταξύ γωνιών και αναλογιών. Στις περισσότερες εισαγωγικές ασκήσεις, εστιάζουμε πρώτα σε τρία μεγέθη: $\sin \theta$, $\cos \theta$ και $\tan \theta$. Αν ψάχνετε για τους «τύπους τριγωνομετρίας sin cos tan», το πρώτο βήμα είναι να θυμάστε τους ορισμούς τους σε ένα ορθγώνιο τρίγωνο και στη συνέχεια να προσθέσετε μια κοινή ταυτότητα. Αυτό είναι αρκετό για να λύσετε πολλές βασικές ασκήσεις.

Οι τέσσερις πιο συνηθισμένοι τύποι είναι:

$\sin \theta = \frac{\text{对边}}{\text{斜边}}, \qquad \cos \theta = \frac{\text{邻边}}{\text{斜边}}, \qquad \tan \theta = \frac{\text{对边}}{\text{邻边}}$

Και προσθέτουμε μια ακόμα κοινή σχέση:

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \qquad (\cos \theta \ne 0)$

Εξασκηθείτε πρώτα σε αυτούς τους τέσσερις τύπους πριν πάτε σε πιο σύνθετους παραγώγους τύπους, ώστε να είστε πιο αποδοτικοί.

Τι σημαίνουν τελικά το sin, το cos και το tan;

Σε ένα ορθγώνιο τρίγωνο, αφού ορίσουμε μια οξεία γωνία $\theta$, οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις περιγράφουν την αναλογία μεταξύ των πλευρών, και όχι το μήκος μιας συγκεκριμένης πλευράς. Επειδή πρόκειται για αναλογία, όσο η γωνία παραμένει η ίδια, οι τιμές του $\sin \theta$, $\cos \theta$ και $\tan \theta$ δεν αλλάζουν, ακόμα και αν το τρίγωνο μεγαlynθεί ή μικρύνει.

Ο πιο συνηθισμένος τρόπος κατανόησης είναι:

$\sin \theta = \frac{\text{对边}}{\text{斜边}}$

$\cos \theta = \frac{\text{邻边}}{\text{斜边}}$

$\tan \theta = \frac{\text{对边}}{\text{邻边}}$

Εδώ, η «απέναντι πλευρά» και η «πλευρά εφόμιστη» πρέπει να εξεταστούν σε σχέση με τη γωνία $\theta$. Αν αλλάξετε γωνία, αλλάζουν και η απέναντι και η εφόμιστη πλευρά — αυτό είναι το σημείο όπου οι αρχάριοι μπερδεύονται πιο συχνά.

Αν η άσκηση δεν αφορά οξεία γωνία αλλά μια τυχόν γωνία, τότε ο πιο ασφαλής ορισμός προέρχεται από τον μοναδιαίο κύκλο. Οι συντεταγμένες του σημείου που αντιστοιχεί στη γωνία $\theta$ στον μοναδιαίο κύκλο είναι $(\cos \theta, \sin \theta)$, επομένως το $\sin$ και το $\cos$ δεν περιορίζονται μόνο σε προβλήματα ορθογωνίων τριγώνων.

Κοινοί τριγωνομετρικοί τύποι: ξεκινήστε με αυτά τα τρία σετ

Μια «συλλογή τύπων» μπορεί να φαίνεται τεράστια, αλλά στην αρχή αξίζει να απομνημονεύσετε τα εξής τρία σετ.

Το πρώτο σετ είναι η ταυτότητα του Πυθαγόρα:

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$

Το δεύτερο σετ είναι η σχέση της εφαπτομένης με τον ημίτονο και το συνημίτονο:

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \qquad (\cos \theta \ne 0)$

Το τρίτο σετ είναι οι συνηθισμένες τιμές για ειδικές γωνίες:

$\sin 30^\circ = \frac{1}{2}, \qquad \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}, \qquad \tan 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}, \qquad \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}, \qquad \tan 45^\circ = 1$

$\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}, \qquad \cos 60^\circ = \frac{1}{2}, \qquad \tan 60^\circ = \sqrt{3}$

Πολλές βασικές ασκήσεις καταλήγουν τελικά στις γωνίες $30^\circ$, $45^\circ$, $60^\circ$, οπότε αξίζει να θυμάστε αυτές τις τιμές απευθείας.

Παράδειγμα τριγωνομετρίας: Πώς να βρούμε το sin, cos, tan όταν γνωρίζουμε την υποτείνουσα και την απέναντι πλευρά

Έστω ένα ορθγώνιο τρίγωνο όπου μια οξεία γωνία είναι $\theta$, η υποτείνουσα είναι $10$ και η απέναντι πλευρά είναι $6$. Ζητείται ο υπολογισμός του $\sin \theta$, $\cos \theta$ και $\tan \theta$.

Ξεκινάμε με το πιο άμεσο:

$\sin \theta = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$

Για να υπολογίσουμε το $\cos \theta$ και το $\tan \theta$, χρειαζόμαστε την εφόμιστη πλευρά. Επειδή πρόκειται για ορθγώνιο τρίγωνο, χρησιμοποιούμε το Πυθαγόρειο θεώρημα:

$\text{邻边} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = 8$

Στη συνέχεια, αντικαθιστούμε στον ορισμό:

$\cos \theta = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$

$\tan \theta = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$

Σε αυτό το παράδειγμα, το κλειδί δεν είναι οι πράξεις, αλλά η σειρά: πρώτα ορίζουμε τη γωνία, μετά ξεχωρίζουμε την απέναντι από την εφόμιστη πλευρά και τέλος αντικαθιστούμε στον ορισμό. Αν αυτό το βήμα είναι σωστό, οι ασκήσεις τριγωνομετρίας συνήθως λύνονται εύκολα.

Τα πιο συνηθισμένα λάθη στην τριγωνομετρία

Εφαρμογή του ορισμού του ορθογωνίου τριγώνου σε όλες τις γωνίες

Ο ορισμός $\sin \theta = \frac{\text{对边}}{\text{斜边}}$ είναι κατάλληλος για οξείες γωνίες σε ορθγώνια τρίγωνα. Για ωχμές γωνίες, αρνητικές γωνίες ή γωνίες μεγαλύτερες από $360^\circ$, θα πρέπει να χρησιμοποιήσετε την κατανόηση μέσω του μοναδιαίου κύκλου.

Ξέχασμα των προϋποθέσεων του $\tan \theta$

Επειδή

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$

όταν $\cos \theta = 0$, τότε το $\tan \theta$ δεν είναι ορισμένο. Αυτή η προϋπόθεση δεν πρέπει να παραλειφθεί, διαφορετικά μπορεί να θεωρήσετε μια μη ορισμένη τιμή ως κανονικό αποτέλεσμα.

Αντιμετάθεση της απέναντι και της εφόμιστης πλευράς

Η απέναντι και η εφόμιστη πλευρά πρέπει να κρίνονται πάντα σε σχέση με τη συγκεκριμένη γωνία $\theta$. Δεν υπάρχει μια πλευρά στο σχήμα που ονομάζεται «απέναντι» μόνιμα.

Απομνημόνευση τιμών χωρίς έλεγχο λογικότητας

Για παράδειγμα, στο διάστημα των οξείων γωνιών, το $\sin \theta$ και το $\cos \theta$ είναι πάντα θετικά και δεν υπερβαίνουν το $1$. Αν βρείτε αποτέλεσμα $\sin \theta = 1.4$, τότε σίγουρα υπάρχει λάθος σε κάποιο προηγούμενο βήμα.

Πού χρησιμοποιούνται συνήθως οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις

Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις εμφανίζονται συχνά σε προβλήματα εύρεσης πλευρών και γωνιών ορθογωνίων τριγώνων, στον μοναδιαίο κύκλο, σε μοντέλα κυμάτων και περιοδικότητας, στην ανάλυση συντεταγμένων και αργότερα στον απειροστικός λογισμός. Όταν μια άσκηση περιλαμβάνει γωνίες, περιστροφές, ύψος, κλίση ή περιοδικές μεταβολές, τότε συνήθως χρησιμοποιείται η τριγωνομετρία.

Αν ο πυρήνας του προβλήματος είναι «γνωρίζοντας μια γωνία και μια πλευρά, βρείτε μια άλλη πλευρά», σκεφτείτε πρώτα το $\sin$, $\cos$, $\tan$. Αν το πρόβλημα δεν αφορά ορθγώνιο τρίγωνο αλλά γενικές γωνίες, γραφήματα ή ταυτότητες, μεταβείτε στην οπτική του μοναδιαίου κύκλου και των τριγωνομετρικών ταυτότητων.

Επόμενο βήμα: Κάντε μια μικρή άσκηση

Δοκιμάστε να κάνετε μια απλή άσκηση: Σε ένα ορθγώνιο τρίγωνο, επιλέξτε μια οξεία γωνία $\theta$, θέστε την υποτείνουσα $13$ και την απέναντι πλευρά $5$, και βρείτε τα $\sin \theta$, $\cos \theta$ και $\tan \theta$.

Αν θέλετε να συνεχίσετε, δοκιμάστε μια άσκηση του τύπου «γνωρίζοντας μια γωνία και μια πλευρά, πώς βρίσκουμε το μήκος μιας πλευράς». Μόλις συνδέσετε τους ορισμούς, το Πυθαγόρειο θεώρημα και τον έλεγχο των αποτελεσμάτων, θα έχετε κάνει την πραγματική σας εισαγωγή στην τριγωνομετρία.