Trigonometrische Funktionen — Die komplette Formelsammlung für sin, cos und tan

Trigonometrische Funktionen beschreiben das Verhältnis zwischen Winkeln und Seitenlängen. Bei den meisten Einsteigeraufgaben schaut man sich zuerst drei Größen an: $\sin \theta$, $\cos \theta$ und $\tan \theta$. Wenn du nach „Trigonometrie sin cos tan Formeln“ suchst, merke dir zuerst ihre Definitionen im rechtwinkligen Dreieck und ergänze sie durch eine häufig genutzte Identität – das reicht bereits für viele Grundaufgaben aus.

Am wichtigsten sind diese vier:

$\sin \theta = \frac{\text{对边}}{\text{斜边}}, \qquad \cos \theta = \frac{\text{邻边}}{\text{斜边}}, \qquad \tan \theta = \frac{\text{对边}}{\text{邻边}}$

Und dazu eine weitere wichtige Beziehung:

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \qquad (\cos \theta \ne 0)$

Meistere erst diese vier, bevor du dir weitere abgeleitete Formeln merkst – das ist wesentlich effizienter.

Was bedeuten sin, cos und tan eigentlich?

In einem rechtwinkligen Dreieck beschreiben die trigonometrischen Funktionen bei einem festen spitzen Winkel $\theta$ das Verhältnis zwischen zwei Seiten, nicht die Länge einer einzelnen Seite. Da es sich um Verhältnisse handelt, bleiben die Werte von $\sin \theta$, $\cos \theta$ und $\tan \theta$ gleich, solange der Winkel identisch ist – egal ob das Dreieck vergrößert oder verkleinert wird.

Die gängigste Art, dies zu verstehen, ist:

$\sin \theta = \frac{\text{对边}}{\text{斜边}}$

$\cos \theta = \frac{\text{邻边}}{\text{斜边}}$

$\tan \theta = \frac{\text{对边}}{\text{邻边}}$

Die Begriffe „Gegenkathete“ und „Ankathete“ müssen immer in Bezug auf den Winkel $\theta$ betrachtet werden. Wenn sich der Winkel ändert, ändern sich auch Gegenkathete und Ankathete. Das ist die Stelle, an der Anfänger am häufigsten Fehler machen.

Wenn in einer Aufgabe nicht von einem spitzen Winkel, sondern von einem beliebigen Winkel die Rede ist, ist die Definition über den Einheitskreis sicherer. Der Punkt auf dem Einheitskreis, der dem Winkel $\theta$ entspricht, hat die Koordinaten $(\cos \theta, \sin \theta)$. Daher gehören $\sin$ und $\cos$ nicht nur in Aufgaben mit rechtwinkligen Dreiecken.

Gängige Formeln: Diese Gruppen solltest du zuerst lernen

Eine „komplette Formelsammlung“ wirkt oft erschlagend, aber für den Einstieg sind diese drei Gruppen am wichtigsten.

Die erste Gruppe ist die pythagoreische Identität:

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$

Die zweite Gruppe ist die Beziehung zwischen Tangens, Sinus und Cosinus:

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \qquad (\cos \theta \ne 0)$

Die dritte Gruppe sind die Werte für besondere Winkel:

$\sin 30^\circ = \frac{1}{2}, \qquad \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}, \qquad \tan 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}, \qquad \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}, \qquad \tan 45^\circ = 1$

$\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}, \qquad \cos 60^\circ = \frac{1}{2}, \qquad \tan 60^\circ = \sqrt{3}$

Viele Grundaufgaben enden bei den Winkeln $30^\circ$, $45^\circ$ und $60^\circ$, daher lohnt es sich, diese Werte direkt auswendig zu lernen.

Beispielaufgabe: Wie berechnet man sin, cos und tan, wenn Hypotenuse und Gegenkathete bekannt sind?

Angenommen, in einem rechtwinkligen Dreieck ist ein spitzer Winkel $\theta$, die Hypotenuse hat die Länge $10$ und die Gegenkathete die Länge $6$. Berechne $\sin \theta$, $\cos \theta$ und $\tan \theta$.

Zuerst berechnen wir den direktesten Wert:

$\sin \theta = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$

Um $\cos \theta$ und $\tan \theta$ zu berechnen, benötigen wir die Ankathete. Da es ein rechtwinkliges Dreieck ist, nutzen wir den Satz des Pythagoras:

$\text{邻边} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = 8$

Nun setzen wir dies zurück in die Definitionen ein:

$\cos \theta = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$

$\tan \theta = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$

Das Entscheidende an diesem Beispiel ist nicht das Rechnen, sondern die Reihenfolge: Zuerst den Winkel fixieren, dann Gegenkathete und Ankathete unterscheiden und schließlich gemäß der Definition einsetzen. Wenn dieser Schritt korrekt ist, wird man bei Trigonometrie-Aufgaben normalerweise nicht den Faden verlieren.

Die häufigsten Fehler bei trigonometrischen Funktionen

Die Definition des rechtwinkligen Dreiecks auf alle Winkel anwenden

Die Beschreibung $\sin \theta = \frac{\text{对边}}{\text{斜边}}$ passt nur für spitze Winkel in rechtwinkligen Dreiecken. Bei stumpfen Winkeln, negativen Winkeln oder Winkeln größer als $360^\circ$ sollte man stattdessen das Verständnis über den Einheitskreis nutzen.

Die Bedingung für $\tan \theta$ vergessen

Da gilt:

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$

ist $\tan \theta$ nicht definiert, wenn $\cos \theta = 0$. Diese Bedingung darf nicht ignoriert werden, da man sonst leicht einen nicht definierten Wert für ein normales Ergebnis hält.

Gegenkathete und Ankathete vertauschen

Gegenkathete und Ankathete müssen immer relativ zum angegebenen Winkel $\theta$ bestimmt werden. Es gibt keine Seite im Bild, die immer „Gegenkathete“ heißt.

Nur Werte auswendig lernen, ohne auf Plausibilität zu prüfen

Im Bereich spitzer Winkel sind beispielsweise $\sin \theta$ und $\cos \theta$ immer positiv und können nicht größer als $1$ sein. Wenn du $\sin \theta = 1.4$ herausbekommst, gab es definitiv einen Fehler in einem vorherigen Schritt.

In welchen Aufgabentypen kommen trigonometrische Funktionen vor?

Trigonometrische Funktionen tauchen am häufigsten bei der Berechnung von Seiten und Winkeln in rechtwinkligen Dreiecken, beim Einheitskreis, in Modellen für Schwingungen und Perioden, bei der Koordinatenzerlegung sowie später in der Analysis (Integral- und Differenzialrechnung) auf. Sobald in einer Aufgabe Winkel, Rotationen, Höhen, Steigungen oder periodische Änderungen vorkommen, sind sie meistens involviert.

Wenn der Kern der Frage ist: „Ein Winkel und eine Seite sind bekannt, berechne eine weitere Seite“, denke zuerst an $\sin$, $\cos$ und $\tan$. Wenn es nicht mehr um ein rechtwinkliges Dreieck geht, sondern um allgemeine Winkel, Graphen oder Identitäten, wechsle zur Perspektive des Einheitskreises und der Identitäten.

Nächster Schritt: Eine kleine Übung für dich

Versuche eine kleine Übung: Wähle in einem rechtwinkligen Dreieck einen spitzen Winkel $\theta$, setze die Hypotenuse auf $13$ und die Gegenkathete auf $5$. Berechne $\sin \theta$, $\cos \theta$ und $\tan \theta$.

Wenn du weiter üben möchtest, schau dir eine Aufgabe an, bei der ein Winkel und eine Seite bekannt sind und du die Seitenlänge rückwärts berechnen musst. Wenn du die Definitionen, den Satz des Pythagoras und die Plausibilitätsprüfung verknüpfen kannst, hast du den Einstieg in die Trigonometrie erfolgreich gemeistert.