三角関数は、角度と比率の関係を記述するために使われます。入門レベルの問題では、まず sin⁡θ\sin \theta、cos⁡θ\cos \theta、tan⁡θ\tan \theta という3つの量に注目します。「三角関数のsin cos tanの公式」を探しているなら、まずは直角三角形における定義を覚え、そこに常用される恒等式を1つ付け加えれば、基礎問題の多くを解くことができます。

特によく使うのが、次の4つの公式です。

sin⁡θ=对边斜边,cos⁡θ=邻边斜边,tan⁡θ=对边邻边\sin \theta = \frac{\text{对边}}{\text{斜边}}, \qquad \cos \theta = \frac{\text{邻边}}{\text{斜边}}, \qquad \tan \theta = \frac{\text{对边}}{\text{邻边}}

さらに、こちらの重要な関係式を加えましょう。

tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ(cos⁡θ≠0)\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \qquad (\cos \theta \ne 0)

まずはこの4つを使いこなせるようにしてから、変形公式を覚えていく方が効率的です。

sin、cos、tan って結局どういう意味？

直角三角形において、一つの鋭角 θ\theta を固定したとき、三角関数が表すのは「辺と辺の比率」であり、辺そのものの長さではありません。比率であるため、角度が同じであれば、三角形が大きくても小さくても sin⁡θ\sin \theta、cos⁡θ\cos \theta、tan⁡θ\tan \theta の値は変わりません。

最も一般的な理解方法は以下の通りです。

sin⁡θ=对边斜边\sin \theta = \frac{\text{对边}}{\text{斜边}}

cos⁡θ=邻边斜边\cos \theta = \frac{\text{邻边}}{\text{斜边}}

tan⁡θ=对边邻边\tan \theta = \frac{\text{对边}}{\text{邻边}}

ここでいう「対辺」と「隣辺」は、必ず角 θ\theta を基準に考えます。注目する角が変われば、対辺と隣辺も入れ替わります。ここは初心者が最も混乱しやすいポイントです。

もし問題が鋭角ではなく「任意の角」を扱っている場合は、単位円による定義を用いるのがより確実です。単位円上で角 θ\theta に対応する点の座標は (cos⁡θ,sin⁡θ)(\cos \theta, \sin \theta) となるため、sin⁡\sin と cos⁡\cos は直角三角形の問題だけでなく、あらゆる角度で適用できます。

三角関数の常用公式：まずはこのグループから

「公式集」を見ると膨大な量に感じますが、入門段階で優先的に覚えるべきは以下の3つのグループです。

1つ目は、三平方の定理（ピタゴラスの定理）に基づく恒等式です。

sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1

2つ目は、正接（tan）と正弦（sin）、余弦（cos）の関係です。

tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ(cos⁡θ≠0)\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \qquad (\cos \theta \ne 0)

3つ目は、特殊角の代表的な値です。

sin⁡30∘=12,cos⁡30∘=32,tan⁡30∘=33\sin 30^\circ = \frac{1}{2}, \qquad \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}, \qquad \tan 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}

sin⁡45∘=22,cos⁡45∘=22,tan⁡45∘=1\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}, \qquad \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}, \qquad \tan 45^\circ = 1

sin⁡60∘=32,cos⁡60∘=12,tan⁡60∘=3\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}, \qquad \cos 60^\circ = \frac{1}{2}, \qquad \tan 60^\circ = \sqrt{3}

多くの基礎問題は最終的に 30∘30^\circ、45∘45^\circ、60∘60^\circ といった角度に集約されるため、これらの値は直接暗記しておく価値があります。

例題：斜辺と対辺がわかっているとき、sin cos tan をどう求めるか

ある直角三角形において、一つの鋭角を θ\theta、斜辺の長さを 1010、対辺の長さを 66 とします。sin⁡θ\sin \theta、cos⁡θ\cos \theta、tan⁡θ\tan \theta を求めてみましょう。

まずは、直接的に求められるものから計算します。

sin⁡θ=610=35\sin \theta = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}

cos⁡θ\cos \theta と tan⁡θ\tan \theta を計算するには、隣辺の長さが必要です。直角三角形なので、まずは三平方の定理を使います。

邻边=102−62=100−36=8\text{邻边} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = 8

そして、定義に当てはめます。

cos⁡θ=810=45\cos \theta = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}

tan⁡θ=68=34\tan \theta = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}

この例で重要なのは計算そのものではなく、「手順」です。まず角を固定し、次に「対辺」と「隣辺」を明確に区別し、最後に定義に従って代入する。このステップさえ間違えなければ、三角関数の問題で迷うことはありません。

三角関数でよくある間違い

直角三角形の定義をすべての角に当てはめてしまう

sin⁡θ=对边斜边\sin \theta = \frac{\text{对边}}{\text{斜边}} という考え方は、直角三角形の中の鋭角にのみ適しています。鈍角や負の角、あるいは 360∘360^\circ を超える角を扱う場合は、単位円を用いて理解する必要があります。

tan⁡θ\tan \theta の条件を忘れる

次の方程式があるため、

tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}

cos⁡θ=0\cos \theta = 0 のとき、tan⁡θ\tan \theta は定義されません。この条件を無視すると、定義されていない値を正常な結果として扱ってしまうミスが起こります。

対辺と隣辺を逆に認識する

対辺と隣辺は、必ず指定された角 θ\theta を基準に判断してください。図の中の特定の辺が常に「対辺」になるわけではありません。

数値だけを暗記し、妥当性をチェックしない

例えば、鋭角の範囲では sin⁡θ\sin \theta と cos⁡θ\cos \theta は正の値であり、かつ 11 を超えることはありません。もし計算結果が sin⁡θ=1.4\sin \theta = 1.4 になったなら、必ずどこかのステップで計算ミスをしています。

三角関数はどのような問題で使われるか

三角関数は、直角三角形の辺や角を求める問題、単位円、波動や周期モデル、座標の分解、そしてその後の微分積分などで頻繁に登場します。問題の中に「角度」「回転」「高さ」「傾き」「周期的な変化」といったキーワードが出てきたら、多くの場合、三角関数が使われます。

問題の核心が「一つの角と一つの辺が既知で、別の辺を求める」ことにあるなら、まずは sin⁡\sin、cos⁡\cos、tan⁡\tan を検討してください。もし直角三角形ではなく、一般的な角度やグラフ、恒等式の変形を扱う問題であれば、単位円や恒等式の視点に切り替えましょう。

次のステップ：ミニ練習問題に挑戦

簡単な練習をしてみましょう。直角三角形で一つの鋭角を θ\theta とし、斜辺を 1313、対辺を 55 としたとき、sin⁡θ\sin \theta、cos⁡θ\cos \theta、tan⁡θ\tan \theta を求めてみてください。

さらに練習したい場合は、「角と辺がわかっているときに、逆に辺の長さを求める」問題に取り組んでみてください。定義、三平方の定理、そして結果の妥当性チェックをセットでこなせれば、三角関数の基礎はバッチリです。

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