Hàm lượng giác — Tổng hợp công thức sin cos tan

Hàm lượng giác được dùng để mô tả mối quan hệ giữa góc và tỉ lệ. Với hầu hết các bài tập nhập môn, trước hết hãy chú ý đến ba đại lượng: $\sin \theta$, $\cos \theta$ và $\tan \theta$. Nếu bạn đang tìm kiếm "công thức hàm lượng giác sin cos tan", hãy nhớ định nghĩa của chúng trong tam giác vuông, sau đó bổ sung thêm một hằng đẳng thức thường dùng là đã đủ để giải nhiều bài tập cơ bản.

Phổ biến nhất là bốn công thức sau:

$\sin \theta = \frac{\text{对边}}{\text{斜边}}, \qquad \cos \theta = \frac{\text{邻边}}{\text{斜边}}, \qquad \tan \theta = \frac{\text{对边}}{\text{邻边}}$

Cộng thêm một mối quan hệ thường dùng:

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \qquad (\cos \theta \ne 0)$

Hãy tập sử dụng thành thạo bốn công thức này trước khi ghi nhớ thêm các công thức biến đổi khác để đạt hiệu quả cao hơn.

sin, cos, tan thực chất có nghĩa là gì?

Trong một tam giác vuông, sau khi cố định một góc nhọn $\theta$, hàm lượng giác nói về tỉ lệ giữa cạnh này với cạnh kia, chứ không phải là độ dài của một cạnh cụ thể. Chính vì là tỉ lệ, nên chỉ cần góc không đổi, dù tam giác có phóng to hay thu nhỏ thì giá trị của $\sin \theta$, $\cos \theta$, $\tan \theta$ vẫn không thay đổi.

Cách hiểu phổ biến nhất là:

$\sin \theta = \frac{\text{对边}}{\text{斜边}}$

$\cos \theta = \frac{\text{邻边}}{\text{斜边}}$

$\tan \theta = \frac{\text{对边}}{\text{邻边}}$

Ở đây, "cạnh đối" và "cạnh kề" phải được xác định tương ứng với góc $\theta$. Khi góc thay đổi, cạnh đối và cạnh kề cũng sẽ thay đổi theo; đây là điểm mà những người mới bắt đầu dễ bị nhầm lẫn nhất.

Nếu bài toán không bàn về góc nhọn mà là góc bất kỳ, khi đó định nghĩa an toàn hơn sẽ đến từ đường tròn đơn vị. Tọa độ của điểm tương ứng với góc $\theta$ trên đường tròn đơn vị là $(\cos \theta, \sin \theta)$, vì vậy $\sin$ và $\cos$ không chỉ xuất hiện trong các bài toán tam giác vuông.

Các công thức lượng giác thường gặp, hãy nhớ 3 nhóm này trước

"Tổng hợp công thức" nhìn thì có vẻ nhiều, nhưng ở giai đoạn nhập môn, ba nhóm dưới đây là đáng nhớ nhất.

Nhóm thứ nhất là hằng đẳng thức Pythagoras:

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$

Nhóm thứ hai là mối quan hệ giữa tang với sin và cos:

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \qquad (\cos \theta \ne 0)$

Nhóm thứ ba là giá trị của các góc đặc biệt:

$\sin 30^\circ = \frac{1}{2}, \qquad \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}, \qquad \tan 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}, \qquad \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}, \qquad \tan 45^\circ = 1$

$\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}, \qquad \cos 60^\circ = \frac{1}{2}, \qquad \tan 60^\circ = \sqrt{3}$

Rất nhiều bài tập cơ bản cuối cùng đều quy về các góc $30^\circ$, $45^\circ$, $60^\circ$, nên việc nhớ trực tiếp các giá trị này là rất xứng đáng.

Ví dụ: Biết cạnh huyền và cạnh đối, làm sao tìm sin cos tan?

Cho một tam giác vuông có một góc nhọn là $\theta$, độ dài cạnh huyền là $10$, độ dài cạnh đối là $6$. Hãy tìm $\sin \theta$, $\cos \theta$ và $\tan \theta$.

Trước hết, tính giá trị trực tiếp nhất:

$\sin \theta = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$

Để tính $\cos \theta$ và $\tan \theta$, chúng ta cần biết cạnh kề. Vì đây là tam giác vuông, ta có thể sử dụng định lý Pythagoras:

$\text{邻边} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = 8$

Sau đó thay ngược lại vào định nghĩa:

$\cos \theta = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$

$\tan \theta = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$

Điểm mấu chốt trong ví dụ này không phải là tính toán, mà là thứ tự: cố định góc $\rightarrow$ phân biệt cạnh đối và cạnh kề $\rightarrow$ thay vào định nghĩa. Chỉ cần bước này chính xác, các bài toán lượng giác thường sẽ không bị rối.

Những sai lầm phổ biến nhất khi học hàm lượng giác

Áp dụng cứng nhắc định nghĩa tam giác vuông cho mọi loại góc

Cách nói $\sin \theta = \frac{\text{对边}}{\text{斜边}}$ chỉ phù hợp với góc nhọn trong tam giác vuông. Đối với góc tù, góc âm hoặc góc lớn hơn $360^\circ$, bạn nên chuyển sang dùng đường tròn đơn vị để hiểu.

Quên điều kiện của $\tan \theta$

Vì

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$

Nên khi $\cos \theta = 0$, $\tan \theta$ không xác định. Điều kiện này không được bỏ qua, nếu không bạn sẽ dễ dàng coi một giá trị không xác định là kết quả bình thường.

Nhầm lẫn giữa cạnh đối và cạnh kề

Cạnh đối và cạnh kề phải được xác định dựa trên góc chỉ định $\theta$, chứ không phải một cạnh cố định trên hình luôn được gọi là "cạnh đối".

Chỉ học thuộc giá trị mà không kiểm tra tính hợp lý

Ví dụ, trong phạm vi góc nhọn, $\sin \theta$ và $\cos \theta$ luôn là số dương và không bao giờ lớn hơn $1$. Nếu bạn tính ra $\sin \theta = 1.4$, chắc chắn đã có bước sai ở phía trước.

Hàm lượng giác thường được dùng trong loại bài tập nào?

Hàm lượng giác thường xuất hiện nhất trong các bài toán tìm cạnh/góc của tam giác vuông, đường tròn đơn vị, mô hình dao động và chu kỳ, phân tích tọa độ, và sau này là trong giải tích. Bất cứ khi nào bài toán xuất hiện góc, sự xoay, chiều cao, độ dốc hoặc biến thiên chu kỳ, hàm lượng giác thường sẽ xuất hiện.

Nếu cốt lõi của vấn đề là "biết một góc và một cạnh, tìm cạnh còn lại", hãy nghĩ đến $\sin$, $\cos$, $\tan$. Nếu bài toán không còn là tam giác vuông mà xử lý các góc tổng quát, đồ thị hoặc biến đổi hằng đẳng thức, hãy chuyển sang góc nhìn của đường tròn đơn vị và các hằng đẳng thức.

Bước tiếp theo: Tự làm một bài tập nhỏ

Hãy thử tự làm một bài tập nhỏ nhất: Trong một tam giác vuông, chọn một góc nhọn $\theta$, giả sử cạnh huyền là $13$, cạnh đối là $5$, hãy tìm $\sin \theta$, $\cos \theta$ và $\tan \theta$.

Nếu bạn muốn luyện tập thêm, hãy thử bài toán "biết một góc và một cạnh, làm sao tính ngược lại độ dài cạnh". Khi bạn có thể kết nối định nghĩa, định lý Pythagoras và kiểm tra kết quả, bạn đã thực sự nhập môn hàm lượng giác.