Funções Trigonométricas — Guia Completo de Fórmulas de sin, cos e tan

As funções trigonométricas são usadas para descrever a relação entre ângulos e proporções. Na maioria dos problemas introdutórios, focamos primeiro em três grandezas: $\sin \theta$, $\cos \theta$ e $\tan \theta$. Se você está procurando por "fórmulas de funções trigonométricas sin cos tan", lembre-se primeiro das definições em um triângulo retângulo e adicione uma identidade comum; isso já é suficiente para resolver muitos exercícios básicos.

As quatro mais utilizadas são:

$\sin \theta = \frac{\text{对边}}{\text{斜边}}, \qquad \cos \theta = \frac{\text{邻边}}{\text{斜边}}, \qquad \tan \theta = \frac{\text{对边}}{\text{邻边}}$

Além disso, há uma relação muito comum:

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \qquad (\cos \theta \ne 0)$

Domine primeiro estas quatro antes de tentar memorizar fórmulas derivadas mais complexas; isso tornará seu aprendizado muito mais eficiente.

O que sin, cos e tan realmente significam?

Em um triângulo retângulo, após fixarmos um ângulo agudo $\theta$, as funções trigonométricas referem-se à proporção entre os lados, e não ao comprimento de um lado específico. Por ser uma proporção, desde que o ângulo seja o mesmo, os valores de $\sin \theta$, $\cos \theta$ e $\tan \theta$ não mudam, independentemente de o triângulo ser ampliado ou reduzido.

A maneira mais comum de entender isso é:

$\sin \theta = \frac{\text{对边}}{\text{斜边}}$

$\cos \theta = \frac{\text{邻边}}{\text{斜边}}$

$\tan \theta = \frac{\text{对边}}{\text{邻边}}$

Aqui, o "cateto oposto" e o "cateto adjacente" devem ser vistos em relação ao ângulo $\theta$. Se você mudar o ângulo, o oposto e o adjacente também mudam — este é o ponto onde os iniciantes mais se confundem.

Se o problema não tratar de um ângulo agudo, mas de qualquer ângulo, a definição mais segura vem do círculo unitário. No círculo unitário, as coordenadas do ponto correspondente ao ângulo $\theta$ são $(\cos \theta, \sin \theta)$, portanto, $\sin$ e $\cos$ não pertencem apenas a problemas de triângulos retângulos.

Fórmulas comuns de trigonometria: comece por estes grupos

Um "guia completo de fórmulas" pode parecer intimidador, mas na fase inicial, os três grupos abaixo são os que mais valem a pena memorizar.

O primeiro grupo é a identidade pitagórica:

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$

O segundo grupo é a relação entre a tangente, o seno e o cosseno:

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \qquad (\cos \theta \ne 0)$

O terceiro grupo são os valores comuns de ângulos notáveis:

$\sin 30^\circ = \frac{1}{2}, \qquad \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}, \qquad \tan 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}, \qquad \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}, \qquad \tan 45^\circ = 1$

$\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}, \qquad \cos 60^\circ = \frac{1}{2}, \qquad \tan 60^\circ = \sqrt{3}$

Muitos problemas básicos acabam resultando nos ângulos $30^\circ$, $45^\circ$ e $60^\circ$, por isso vale a pena decorar esses valores.

Exemplo de Trigonometria: Como calcular sin, cos e tan conhecendo a hipotenusa e o cateto oposto

Considere um triângulo retângulo onde um ângulo agudo é $\theta$, a hipotenusa mede $10$ e o cateto oposto mede $6$. Calcule $\sin \theta$, $\cos \theta$ e $\tan \theta$.

Primeiro, calculamos o mais direto:

$\sin \theta = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$

Para calcular $\cos \theta$ e $\tan \theta$, precisamos do cateto adjacente. Como se trata de um triângulo retângulo, podemos usar o Teorema de Pitágoras:

$\text{邻边} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = 8$

Agora, aplicamos as definições:

$\cos \theta = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$

$\tan \theta = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$

Neste exemplo, o ponto crucial não é a aritmética, mas a sequência: primeiro fixe o ângulo, depois diferencie o cateto oposto do adjacente e, por fim, substitua na definição. Se esse passo estiver correto, você não se perderá nos problemas de trigonometria.

Erros mais comuns em funções trigonométricas

Aplicar a definição de triângulo retângulo a todos os ângulos

A definição $\sin \theta = \frac{\text{对边}}{\text{斜边}}$ é adequada para ângulos agudos em triângulos retângulos. Para ângulos obtusos, ângulos negativos ou ângulos maiores que $360^\circ$, você deve usar a compreensão via círculo unitário.

Esquecer a condição de $\tan \theta$

Como

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$

quando $\cos \theta = 0$, $\tan \theta$ não está definido. Essa condição não pode ser ignorada, caso contrário, você pode confundir um valor indefinido com um resultado normal.

Trocar o cateto oposto pelo adjacente

O cateto oposto e o adjacente devem ser julgados sempre em relação ao ângulo especificado $\theta$; não existe um lado fixo no desenho que seja "sempre" o oposto.

Decorar valores sem verificar se são razoáveis

Por exemplo, no intervalo de ângulos agudos, $\sin \theta$ e $\cos \theta$ são sempre positivos e nunca maiores que $1$. Se você encontrar um resultado como $\sin \theta = 1.4$, certamente houve um erro em algum passo anterior.

Onde as funções trigonométricas são geralmente aplicadas?

As funções trigonométricas aparecem com frequência em problemas de cálculo de lados e ângulos de triângulos retângulos, círculo unitário, modelos de ondas e periodicidade, decomposição de coordenadas e, posteriormente, em Cálculo. Sempre que o problema envolver ângulos, rotações, altura, inclinação ou mudanças periódicas, elas provavelmente estarão presentes.

Se o núcleo da questão for "conhecendo um ângulo e um lado, encontrar outro lado", pense primeiro em $\sin$, $\cos$ e $\tan$. Se o problema não envolver mais um triângulo retângulo, mas sim ângulos gerais, gráficos ou transformações de identidades, mude a perspectiva para o círculo unitário e as identidades trigonométricas.

Próximo passo: faça um pequeno exercício

Tente fazer um exercício simples: em um triângulo retângulo, escolha um ângulo agudo $\theta$, defina a hipotenusa como $13$ e o cateto oposto como $5$. Calcule $\sin \theta$, $\cos \theta$ e $\tan \theta$.

Se quiser continuar praticando, tente resolver uma versão de "conhecendo um ângulo e um lado, como encontrar o comprimento do lado". Quando você conseguir conectar a definição, o Teorema de Pitágoras e a verificação dos resultados, terá dominado a base da trigonometria.