反函数

反函数会“抵消”一个函数。如果 $f(a) = b$，那么 $f^{-1}(b) = a$。这通常就是学生最想知道的核心意思。

但有一个条件很重要：只有当原函数在你所使用的定义域上是一一对应时，反函数才存在。如果两个输入对应同一个输出，反函数就无法判断该返回哪一个输入。

反函数是什么意思

如果

$$f(a) = b,$$

那么反函数会把这一步反过来：

$$f^{-1}(b) = a.$$

你可以把原函数看成是从输入走向输出。反函数则是从输出回到输入。

反函数什么时候存在

一个函数只有在所选定义域上是一一对应时，才有反函数。通俗地说，每个输出都必须只来自一个输入。

这也是为什么定义域限制很重要。它还解释了为什么定义域和值域会互换：$f^{-1}$ 的定义域是 $f$ 的值域，而 $f^{-1}$ 的值域是 $f$ 的定义域。

如何求反函数

从一个一一对应的函数开始，例如

$$f(x) = 2x + 3$$

写成

$$y = 2x + 3$$

交换 $x$ 和 $y$：

$$x = 2y + 3$$

现在解出 $y$：

$$x - 3 = 2y$$ $$y = \frac{x - 3}{2}$$

把这个结果记作反函数：

$$f^{-1}(x) = \frac{x - 3}{2}$$

再用复合函数检验：

$$f\left(f^{-1}(x)\right) = 2\left(\frac{x - 3}{2}\right) + 3 = x$$

你也可以检查另一个方向，即 $f^{-1}(f(x)) = x$。如果在相应定义域上，这两个复合结果都等于 $x$，那么这个反函数就是正确的。

为什么 $x^2$ 需要限制定义域

考虑

$$f(x) = x^2$$

在全体实数上的情况。这个函数不是一一对应的，因为

$$f(2) = 4 \quad \text{and} \quad f(-2) = 4$$

输出 $4$ 来自两个不同的输入。这说明 $x^2$ 在全体实数上不是一一对应的，因此它在那里没有反函数。

如果把定义域限制为 $x \ge 0$，这个函数就变成一一对应了。此时它的反函数是

$$f^{-1}(x) = \sqrt{x}$$

如果没有这个限制，直接说它的反函数是 $\sqrt{x}$ 就不完整，因为原函数在整个定义域上并不可逆。

反函数中的常见错误

最常见的错误，是还没先检查函数是否一一对应，就直接开始代数运算。这样即使原定义域上根本不存在反函数，你也可能算出一个看起来正确的式子。

另一个常见错误，是把 $f^{-1}(x)$ 和 $\frac{1}{f(x)}$ 混淆。它们是完全不同的概念。一个表示“抵消”函数，另一个表示取倒数。

学生还常常忘记定义域和值域要互换。这在说明反函数在哪里有定义时非常重要。

反函数有什么用

当你需要根据输出反推出原始输入时，就会用到反函数。这在代数、解方程和作图中都很常见。

它也解释了很多熟悉的运算对：减法抵消加法，除法抵消乘法，对数抵消指数。

在微积分中，反函数也很重要，比如研究图像、反函数关系的导数，以及 $\ln x$、$\arcsin x$ 和 $\arctan x$ 这类函数时都会用到。

一个快速的图像检查方法

如果两个函数互为反函数，它们的图像关于直线

$$y = x$$

对称。

这是快速判断你求出的反函数是否合理的一个方法。

试一道类似的题

试着求下面这个函数的反函数：

$$f(x) = 5x - 7$$

按照同样的步骤：先写出 $y = f(x)$，交换 $x$ 和 $y$，解出 $y$，再用复合函数检验。然后再试试 $f(x) = x^2$，判断在反函数存在之前需要怎样限制定义域。