Hàm số ngược

Hàm số ngược là hàm “hoàn tác” một hàm số. Nếu $f(a) = b$ thì $f^{-1}(b) = a$. Đó là ý chính mà học sinh thường tìm khi học phần này.

Nhưng có một điều kiện rất quan trọng: hàm ngược chỉ tồn tại khi hàm ban đầu là một-một trên miền xác định bạn đang dùng. Nếu hai đầu vào cho cùng một đầu ra, thì hàm ngược không thể biết phải trả về đầu vào nào.

Hàm số ngược có nghĩa là gì

Nếu

$$f(a) = b,$$

thì hàm ngược sẽ đảo ngược bước đó:

$$f^{-1}(b) = a.$$

Hãy xem hàm ban đầu như đi xuôi từ đầu vào đến đầu ra. Hàm ngược thì đi ngược lại từ đầu ra về đầu vào.

Khi nào hàm số ngược tồn tại

Một hàm số chỉ có hàm ngược nếu nó là một-một trên miền xác định đã chọn. Nói đơn giản, mỗi đầu ra phải đến từ đúng một đầu vào.

Đó là lý do việc giới hạn miền xác định lại quan trọng. Điều này cũng giải thích vì sao miền xác định và tập giá trị đổi chỗ cho nhau: miền xác định của $f^{-1}$ là tập giá trị của $f$, còn tập giá trị của $f^{-1}$ là miền xác định của $f$.

Cách tìm hàm số ngược

Bắt đầu với một hàm số một-một, chẳng hạn

$$f(x) = 2x + 3$$

Viết

$$y = 2x + 3$$

Đổi chỗ $x$ và $y$:

$$x = 2y + 3$$

Bây giờ giải theo $y$:

$$x - 3 = 2y$$ $$y = \frac{x - 3}{2}$$

Đặt kết quả đó là hàm ngược:

$$f^{-1}(x) = \frac{x - 3}{2}$$

Kiểm tra bằng phép hợp thành:

$$f\left(f^{-1}(x)\right) = 2\left(\frac{x - 3}{2}\right) + 3 = x$$

Bạn cũng có thể kiểm tra theo chiều ngược lại, $f^{-1}(f(x)) = x$. Nếu cả hai phép hợp thành đều cho ra $x$ trên miền thích hợp, thì hàm ngược là đúng.

Vì sao $x^2$ cần giới hạn miền xác định

Xét

$$f(x) = x^2$$

trên toàn bộ tập số thực. Hàm số này không phải là một-một vì

$$f(2) = 4 \quad \text{and} \quad f(-2) = 4$$

Đầu ra $4$ đến từ hai đầu vào khác nhau. Điều đó có nghĩa là $x^2$ không phải là hàm một-một trên toàn bộ tập số thực, nên nó không có hàm ngược trên miền đó.

Nếu bạn giới hạn miền xác định thành $x \ge 0$, thì hàm số trở thành một-một. Khi đó hàm ngược là

$$f^{-1}(x) = \sqrt{x}$$

Nếu không có giới hạn đó, việc nói hàm ngược là $\sqrt{x}$ là chưa đầy đủ vì hàm ban đầu không thể đảo ngược trên toàn bộ miền xác định.

Những lỗi thường gặp với hàm số ngược

Lỗi phổ biến nhất là làm biến đổi đại số mà không kiểm tra trước xem hàm số có phải là một-một hay không. Bạn có thể tạo ra một biểu thức trông có vẻ đúng ngay cả khi hàm ngược không tồn tại trên miền xác định ban đầu.

Một lỗi khác cũng rất hay gặp là nhầm $f^{-1}(x)$ với $\frac{1}{f(x)}$. Đây là hai khái niệm khác nhau. Một cái dùng để hoàn tác hàm số. Cái còn lại là lấy nghịch đảo.

Học sinh cũng thường quên rằng miền xác định và tập giá trị phải đổi chỗ cho nhau. Điều này rất quan trọng khi bạn mô tả nơi hàm ngược được xác định.

Hàm số ngược được dùng ở đâu

Hàm số ngược xuất hiện bất cứ khi nào bạn cần tìm lại đầu vào ban đầu từ một đầu ra. Điều này gặp trong đại số, giải phương trình và vẽ đồ thị.

Chúng cũng giải thích các cặp phép toán quen thuộc: phép trừ hoàn tác phép cộng, phép chia hoàn tác phép nhân, và logarit hoàn tác hàm mũ.

Trong giải tích, hàm số ngược rất quan trọng khi bạn học về đồ thị, đạo hàm của các quan hệ ngược, và các hàm như $\ln x$, $\arcsin x$, và $\arctan x$.

Kiểm tra nhanh bằng đồ thị

Nếu hai hàm số là hàm ngược của nhau, thì đồ thị của chúng đối xứng qua đường thẳng

$$y = x$$

Đây là một cách nhanh để kiểm tra xem hàm ngược bạn tìm được có hợp lý hay không.

Thử một bài tương tự

Hãy thử tìm hàm ngược của

$$f(x) = 5x - 7$$

Làm theo đúng mẫu đó: viết $y = f(x)$, đổi chỗ $x$ và $y$, giải theo $y$, rồi kiểm tra bằng phép hợp thành. Sau đó thử với $f(x) = x^2$ và xác định cần giới hạn miền xác định như thế nào để hàm ngược có thể tồn tại.