Fungsi Invers

Fungsi invers membatalkan suatu fungsi. Jika $f(a) = b$, maka $f^{-1}(b) = a$. Itulah gagasan utama yang biasanya dicari siswa.

Tetapi ada satu syarat penting: fungsi invers hanya ada jika fungsi asal bersifat satu-satu pada domain yang digunakan. Jika dua input memiliki output yang sama, invers tidak bisa menentukan input mana yang harus dikembalikan.

Apa arti fungsi invers

Jika

$$f(a) = b,$$

maka invers membalik langkah itu:

$$f^{-1}(b) = a.$$

Bayangkan fungsi asal bergerak maju dari input ke output. Invers bergerak mundur dari output ke input.

Kapan fungsi invers ada

Suatu fungsi memiliki invers hanya jika fungsi itu satu-satu pada domain yang dipilih. Dalam bahasa sederhana, setiap output harus berasal dari tepat satu input.

Syarat itu menjelaskan mengapa pembatasan domain penting. Ini juga menjelaskan mengapa domain dan range saling bertukar: domain dari $f^{-1}$ adalah range dari $f$, dan range dari $f^{-1}$ adalah domain dari $f$.

Cara mencari fungsi invers

Mulailah dengan fungsi yang satu-satu, misalnya

$$f(x) = 2x + 3$$

Tulis

$$y = 2x + 3$$

Tukar $x$ dan $y$:

$$x = 2y + 3$$

Sekarang selesaikan untuk $y$:

$$x - 3 = 2y$$ $$y = \frac{x - 3}{2}$$

Tuliskan hasil itu sebagai invers:

$$f^{-1}(x) = \frac{x - 3}{2}$$

Periksa dengan komposisi:

$$f\left(f^{-1}(x)\right) = 2\left(\frac{x - 3}{2}\right) + 3 = x$$

Anda juga bisa memeriksa arah sebaliknya, $f^{-1}(f(x)) = x$. Jika kedua komposisi menghasilkan $x$ pada domain yang relevan, maka inversnya benar.

Mengapa $x^2$ memerlukan pembatasan domain

Perhatikan

$$f(x) = x^2$$

pada semua bilangan real. Fungsi ini tidak satu-satu karena

$$f(2) = 4 \quad \text{dan} \quad f(-2) = 4$$

Output $4$ berasal dari dua input yang berbeda. Artinya, $x^2$ tidak satu-satu pada semua bilangan real, sehingga tidak memiliki fungsi invers di sana.

Jika Anda membatasi domain menjadi $x \ge 0$, fungsi itu menjadi satu-satu. Maka inversnya adalah

$$f^{-1}(x) = \sqrt{x}$$

Tanpa pembatasan itu, mengatakan bahwa inversnya adalah $\sqrt{x}$ belum lengkap karena fungsi asal tidak dapat dibalik pada seluruh domain.

Kesalahan umum pada fungsi invers

Kesalahan yang paling umum adalah melakukan aljabar tanpa memeriksa terlebih dahulu apakah fungsi itu satu-satu. Anda bisa menghasilkan bentuk yang tampak benar meskipun sebenarnya tidak ada fungsi invers pada domain asal.

Kesalahan umum lainnya adalah mengira $f^{-1}(x)$ sama dengan $\frac{1}{f(x)}$. Keduanya adalah konsep yang berbeda. Yang satu membatalkan fungsi. Yang lain mengambil kebalikan.

Siswa juga sering lupa bahwa domain dan range saling bertukar. Ini penting saat Anda menjelaskan di mana invers didefinisikan.

Di mana fungsi invers digunakan

Fungsi invers muncul setiap kali Anda perlu mendapatkan kembali input asal dari suatu output. Ini sering muncul dalam aljabar, penyelesaian persamaan, dan grafik.

Fungsi invers juga menjelaskan pasangan operasi yang sudah familiar: pengurangan membatalkan penjumlahan, pembagian membatalkan perkalian, dan logaritma membatalkan eksponensial.

Dalam kalkulus, fungsi invers penting saat Anda mempelajari grafik, turunan dari hubungan invers, dan fungsi seperti $\ln x$, $\arcsin x$, dan $\arctan x$.

Pemeriksaan grafik cepat

Jika dua fungsi saling invers, grafiknya merupakan pencerminan terhadap garis

$$y = x$$

Ini adalah cara cepat untuk menguji apakah invers yang Anda temukan masuk akal.

Coba soal serupa

Cobalah mencari invers dari

$$f(x) = 5x - 7$$

Ikuti pola yang sama: tulis $y = f(x)$, tukar $x$ dan $y$, selesaikan untuk $y$, lalu periksa dengan komposisi. Setelah itu, coba $f(x) = x^2$ dan tentukan pembatasan domain apa yang diperlukan sebelum invers bisa ada.