逆関数

逆関数とは、ある関数のはたらきを打ち消す関数のことです。もし $f(a) = b$ なら、$f^{-1}(b) = a$ です。多くの学習者が知りたい中心的な考え方はこれです。

ただし、重要な条件が1つあります。逆関数が存在するのは、もとの関数が使っている定義域で1対1である場合だけです。2つの入力が同じ出力をもつと、逆関数はどちらの入力を返せばよいか決められません。

逆関数の意味

もし

$$f(a) = b,$$

なら、逆関数はその対応を逆向きにします。

$$f^{-1}(b) = a.$$

もとの関数は入力から出力へ進むものだと考えてください。逆関数は出力から入力へ戻ります。

逆関数が存在する条件

関数が逆関数をもつのは、選んだ定義域で1対1である場合に限られます。わかりやすく言えば、各出力がちょうど1つの入力から生じていなければなりません。

この条件があるので、定義域の制限が重要になります。また、定義域と値域が入れ替わる理由もここにあります。つまり、$f^{-1}$ の定義域は $f$ の値域で、$f^{-1}$ の値域は $f$ の定義域です。

逆関数の求め方

まず、1対1である関数から始めます。たとえば

$$f(x) = 2x + 3$$

です。

次のように書きます。

$$y = 2x + 3$$

$x$ と $y$ を入れ替えます。

$$x = 2y + 3$$

次に、$y$ について解きます。

$$x - 3 = 2y$$ $$y = \frac{x - 3}{2}$$

この結果を逆関数として書き直します。

$$f^{-1}(x) = \frac{x - 3}{2}$$

合成して確かめると、

$$f\left(f^{-1}(x)\right) = 2\left(\frac{x - 3}{2}\right) + 3 = x$$

となります。

逆向きの確認として、$f^{-1}(f(x)) = x$ も調べられます。適切な定義域で両方の合成が $x$ になれば、その逆関数は正しいといえます。

なぜ $x^2$ には定義域の制限が必要なのか

次を考えます。

$$f(x) = x^2$$

定義域をすべての実数とすると、この関数は1対1ではありません。なぜなら

$$f(2) = 4 \quad \text{and} \quad f(-2) = 4$$

だからです。

出力 $4$ は2つの異なる入力から得られます。つまり、$x^2$ は実数全体では1対1ではないので、そのままでは逆関数をもちません。

定義域を $x \ge 0$ に制限すると、この関数は1対1になります。このとき逆関数は

$$f^{-1}(x) = \sqrt{x}$$

です。

この制限なしに逆関数が $\sqrt{x}$ だと言うのは不十分です。もとの関数が定義域全体では可逆でなかったからです。

逆関数でよくある間違い

最もよくある間違いは、その関数が先に1対1かどうかを確かめずに式変形を進めてしまうことです。もとの定義域では逆関数が存在しないのに、見た目だけは正しそうな式ができてしまうことがあります。

もう1つのよくある間違いは、$f^{-1}(x)$ と $\frac{1}{f(x)}$ を混同することです。これは別の考え方です。前者は関数のはたらきを打ち消し、後者は逆数をとるだけです。

また、定義域と値域を入れ替えることを忘れる人もいます。逆関数がどこで定義されるかを説明するとき、これは重要です。

逆関数はどこで使われるか

逆関数は、出力からもとの入力を取り戻したいときに現れます。これは代数、方程式を解くこと、グラフの理解などでよく出てきます。

また、よく知られた演算の組も逆関数の考え方で説明できます。引き算は足し算を打ち消し、割り算は掛け算を打ち消し、対数は指数関数を打ち消します。

微積分では、逆関数はグラフ、逆の関係にある関数の導関数、そして $\ln x$、$\arcsin x$、$\arctan x$ のような関数を学ぶときに重要です。

グラフでの簡単な確認

2つの関数が逆関数どうしなら、そのグラフは直線

$$y = x$$

に関して対称になります。

これは、求めた逆関数が妥当かどうかを手早く確かめる方法です。

似た問題に挑戦してみよう

次の関数の逆関数を求めてみましょう。

$$f(x) = 5x - 7$$

同じ手順に従います。$y = f(x)$ とおき、$x$ と $y$ を入れ替え、$y$ について解き、合成で確認します。次に $f(x) = x^2$ も試して、逆関数が存在するためにどんな定義域の制限が必要かを考えてみましょう。