역함수

역함수는 어떤 함수를 되돌리는 함수입니다. 만약 $f(a) = b$라면, $f^{-1}(b) = a$입니다. 이것이 학생들이 보통 찾는 핵심 아이디어입니다.

하지만 중요한 조건이 하나 있습니다. 역함수는 원래 함수가 사용하는 정의역에서 일대일일 때만 존재합니다. 서로 다른 두 입력이 같은 출력을 가지면, 역함수는 어떤 입력을 돌려줘야 할지 결정할 수 없습니다.

역함수의 뜻

만약

$$f(a) = b,$$

라면 역함수는 그 과정을 거꾸로 돌립니다:

$$f^{-1}(b) = a.$$

원래 함수가 입력에서 출력으로 앞으로 가는 과정이라면, 역함수는 출력에서 입력으로 뒤로 가는 과정이라고 생각하면 됩니다.

역함수가 존재하는 경우

함수는 선택한 정의역에서 일대일일 때만 역함수를 가집니다. 쉽게 말해, 각 출력값은 정확히 하나의 입력값에서만 나와야 합니다.

이 조건 때문에 정의역 제한이 중요합니다. 또한 이것은 정의역과 치역이 서로 바뀌는 이유이기도 합니다. $f^{-1}$의 정의역은 $f$의 치역이고, $f^{-1}$의 치역은 $f$의 정의역입니다.

역함수 구하는 법

일대일 함수의 예로 다음을 생각해 봅시다.

$$f(x) = 2x + 3$$

먼저

$$y = 2x + 3$$

라고 씁니다.

이제 $x$와 $y$를 바꿉니다:

$$x = 2y + 3$$

이제 $y$에 대해 풉니다:

$$x - 3 = 2y$$ $$y = \frac{x - 3}{2}$$

이 결과를 역함수로 다시 쓰면

$$f^{-1}(x) = \frac{x - 3}{2}$$

입니다.

합성으로 확인해 봅시다:

$$f\left(f^{-1}(x)\right) = 2\left(\frac{x - 3}{2}\right) + 3 = x$$

반대 방향인 $f^{-1}(f(x)) = x$도 확인할 수 있습니다. 관련된 정의역에서 두 합성 모두 $x$가 나오면, 역함수를 올바르게 구한 것입니다.

왜 $x^2$에는 정의역 제한이 필요한가

다음을 생각해 봅시다.

$$f(x) = x^2$$

이 함수를 모든 실수에서 정의한다고 합시다. 이 함수는 일대일이 아닙니다. 왜냐하면

$$f(2) = 4 \quad \text{and} \quad f(-2) = 4$$

이기 때문입니다.

출력값 $4$는 서로 다른 두 입력에서 나옵니다. 즉, $x^2$는 모든 실수에서 일대일이 아니므로 그 정의역에서는 역함수를 가질 수 없습니다.

정의역을 $x \ge 0$으로 제한하면 이 함수는 일대일이 됩니다. 그러면 역함수는

$$f^{-1}(x) = \sqrt{x}$$

가 됩니다.

이 제한 없이 역함수가 $\sqrt{x}$라고 말하는 것은 불완전합니다. 원래 함수가 전체 정의역에서는 되돌릴 수 없었기 때문입니다.

역함수에서 자주 하는 실수

가장 흔한 실수는 먼저 함수가 일대일인지 확인하지 않고 대수 계산부터 하는 것입니다. 원래 정의역에서 역함수가 존재하지 않는데도, 겉보기에 맞는 식을 만들어낼 수 있습니다.

또 다른 흔한 실수는 $f^{-1}(x)$와 $\frac{1}{f(x)}$를 혼동하는 것입니다. 이 둘은 전혀 다른 개념입니다. 하나는 함수를 되돌리고, 다른 하나는 역수를 취합니다.

학생들은 정의역과 치역이 서로 바뀐다는 점도 자주 놓칩니다. 역함수가 어디에서 정의되는지 설명할 때 이것은 중요합니다.

역함수는 어디에 쓰일까

역함수는 출력값으로부터 원래 입력값을 다시 찾아야 할 때마다 등장합니다. 이런 상황은 대수, 방정식 풀이, 그래프 해석에서 자주 나타납니다.

또한 익숙한 연산 쌍도 역함수의 관점으로 설명할 수 있습니다. 뺄셈은 덧셈을 되돌리고, 나눗셈은 곱셈을 되돌리며, 로그는 지수함수를 되돌립니다.

미적분에서는 그래프, 역함수 관계의 도함수, 그리고 $\ln x$, $\arcsin x$, $\arctan x$ 같은 함수를 공부할 때 역함수가 중요합니다.

그래프로 빠르게 확인하기

두 함수가 서로 역함수라면, 그 그래프는 다음 직선에 대하여 서로 대칭입니다.

$$y = x$$

이것은 구한 역함수가 타당한지 빠르게 점검하는 좋은 방법입니다.

비슷한 문제를 풀어 보세요

다음 함수의 역함수를 구해 보세요.

$$f(x) = 5x - 7$$

같은 순서를 따르면 됩니다. $y = f(x)$로 쓰고, $x$와 $y$를 바꾸고, $y$에 대해 푼 뒤, 합성으로 확인하세요. 그다음 $f(x) = x^2$도 시도해 보고, 역함수가 존재하려면 어떤 정의역 제한이 필요한지 판단해 보세요.