ฟังก์ชันผกผัน

ฟังก์ชันผกผันคือฟังก์ชันที่ย้อนการทำงานของอีกฟังก์ชันหนึ่ง ถ้า $f(a) = b$ แล้ว $f^{-1}(b) = a$ นี่คือแนวคิดหลักที่นักเรียนส่วนใหญ่มักกำลังมองหา

แต่มีเงื่อนไขสำคัญอยู่ข้อหนึ่ง: ฟังก์ชันผกผันจะมีได้ก็ต่อเมื่อฟังก์ชันเดิมเป็นหนึ่งต่อหนึ่งบนโดเมนที่คุณใช้อยู่ ถ้ามีอินพุตสองค่าที่ให้เอาต์พุตเดียวกัน ฟังก์ชันผกผันจะไม่สามารถตัดสินใจได้ว่าควรคืนค่าอินพุตใด

ฟังก์ชันผกผันหมายถึงอะไร

ถ้า

$$f(a) = b,$$

ฟังก์ชันผกผันจะย้อนขั้นตอนนั้นกลับ:

$$f^{-1}(b) = a.$$

มองว่าฟังก์ชันเดิมพาเราเดินหน้า จากอินพุตไปยังเอาต์พุต ส่วนฟังก์ชันผกผันจะพาย้อนกลับ จากเอาต์พุตไปยังอินพุต

ฟังก์ชันผกผันมีได้เมื่อไร

ฟังก์ชันจะมีฟังก์ชันผกผันได้ก็ต่อเมื่อเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งบนโดเมนที่เลือก พูดง่าย ๆ คือ เอาต์พุตแต่ละค่าต้องมาจากอินพุตเพียงค่าเดียวเท่านั้น

เงื่อนไขนี้จึงทำให้การจำกัดโดเมนมีความสำคัญ และยังอธิบายได้ว่าทำไมโดเมนกับเรนจ์จึงสลับกัน: โดเมนของ $f^{-1}$ คือเรนจ์ของ $f$ และเรนจ์ของ $f^{-1}$ คือโดเมนของ $f$

วิธีหาฟังก์ชันผกผัน

เริ่มจากฟังก์ชันที่เป็นหนึ่งต่อหนึ่ง เช่น

$$f(x) = 2x + 3$$

เขียนเป็น

$$y = 2x + 3$$

สลับ $x$ กับ $y$:

$$x = 2y + 3$$

จากนั้นแก้สมการหา $y$:

$$x - 3 = 2y$$ $$y = \frac{x - 3}{2}$$

เขียนผลลัพธ์นี้ใหม่เป็นฟังก์ชันผกผัน:

$$f^{-1}(x) = \frac{x - 3}{2}$$

ตรวจสอบด้วยการประกอบฟังก์ชัน:

$$f\left(f^{-1}(x)\right) = 2\left(\frac{x - 3}{2}\right) + 3 = x$$

คุณสามารถตรวจสอบอีกทางหนึ่งได้เช่นกัน คือ $f^{-1}(f(x)) = x$ ถ้าการประกอบทั้งสองแบบให้ผลเป็น $x$ บนโดเมนที่เกี่ยวข้อง แสดงว่าฟังก์ชันผกผันนั้นถูกต้อง

ทำไม $x^2$ จึงต้องจำกัดโดเมน

พิจารณา

$$f(x) = x^2$$

บนจำนวนจริงทั้งหมด ฟังก์ชันนี้ไม่เป็นหนึ่งต่อหนึ่ง เพราะว่า

$$f(2) = 4 \quad \text{and} \quad f(-2) = 4$$

เอาต์พุต $4$ มาจากอินพุตสองค่าที่ต่างกัน นั่นหมายความว่า $x^2$ ไม่เป็นหนึ่งต่อหนึ่งบนจำนวนจริงทั้งหมด จึงไม่มีฟังก์ชันผกผันในกรณีนั้น

ถ้าคุณจำกัดโดเมนให้เป็น $x \ge 0$ ฟังก์ชันจะกลายเป็นหนึ่งต่อหนึ่ง แล้วฟังก์ชันผกผันคือ

$$f^{-1}(x) = \sqrt{x}$$

หากไม่มีการจำกัดโดเมน การบอกว่าฟังก์ชันผกผันคือ $\sqrt{x}$ ยังถือว่าไม่ครบถ้วน เพราะฟังก์ชันเดิมไม่สามารถย้อนกลับได้บนโดเมนทั้งหมด

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยเกี่ยวกับฟังก์ชันผกผัน

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยที่สุดคือทำพีชคณิตต่อไปโดยไม่ตรวจสอบก่อนว่าฟังก์ชันเป็นหนึ่งต่อหนึ่งหรือไม่ คุณอาจได้นิพจน์ที่ดูเหมือนถูกต้อง ทั้งที่จริงแล้วไม่มีฟังก์ชันผกผันบนโดเมนเดิม

อีกข้อผิดพลาดที่พบบ่อยคือสับสนระหว่าง $f^{-1}(x)$ กับ $\frac{1}{f(x)}$ ซึ่งเป็นคนละแนวคิดกัน อย่างแรกคือการย้อนการทำงานของฟังก์ชัน อย่างหลังคือการหาส่วนกลับ

นักเรียนยังมักลืมสลับโดเมนกับเรนจ์ด้วย ซึ่งสำคัญมากเมื่อคุณอธิบายว่าฟังก์ชันผกผันนิยามอยู่บนช่วงใด

ฟังก์ชันผกผันถูกใช้ที่ไหน

ฟังก์ชันผกผันปรากฏทุกครั้งที่คุณต้องการหาค่าอินพุตเดิมจากเอาต์พุต สิ่งนี้พบได้ในพีชคณิต การแก้สมการ และการเขียนกราฟ

นอกจากนี้ยังอธิบายคู่การดำเนินการที่คุ้นเคยได้ด้วย: การลบย้อนการบวก การหารย้อนการคูณ และลอการิทึมย้อนฟังก์ชันเอ็กซ์โพเนนเชียล

ในแคลคูลัส ฟังก์ชันผกผันมีความสำคัญเมื่อคุณศึกษาเรื่องกราฟ อนุพันธ์ของความสัมพันธ์ผกผัน และฟังก์ชันอย่าง $\ln x$, $\arcsin x$, และ $\arctan x$

เช็กจากกราฟแบบเร็ว

ถ้าฟังก์ชันสองฟังก์ชันเป็นฟังก์ชันผกผันกัน กราฟของทั้งคู่จะสะท้อนกันผ่านเส้น

$$y = x$$

นี่เป็นวิธีเร็ว ๆ ในการตรวจสอบว่าฟังก์ชันผกผันที่คุณหาได้นั้นสมเหตุสมผลหรือไม่

ลองทำโจทย์ที่คล้ายกัน

ลองหาฟังก์ชันผกผันของ

$$f(x) = 5x - 7$$

ทำตามรูปแบบเดิม: เขียน $y = f(x)$ สลับ $x$ กับ $y$ แก้สมการหา $y$ และตรวจสอบด้วยการประกอบฟังก์ชัน จากนั้นลองทำกับ $f(x) = x^2$ แล้วตัดสินใจว่าต้องจำกัดโดเมนอย่างไร ก่อนที่ฟังก์ชันผกผันจะมีได้