Tam giác Pascal — Quy luật, tính chất và ứng dụng

Tam giác Pascal là một quy luật số theo hình tam giác, trong đó mỗi số ở bên trong bằng tổng của hai số phía trên nó. Nếu tính đỉnh trên cùng là hàng $0$, thì hàng $n$ cho các hệ số của $(a+b)^n$, nên quy luật này xuất hiện rất thường xuyên trong đại số và bài toán đếm.

Nếu gọi đỉnh trên cùng là hàng $0$, thì vài hàng đầu tiên là:

Hàng $0$: $1$

Hàng $1$: $1,\ 1$

Hàng $2$: $1,\ 2,\ 1$

Hàng $3$: $1,\ 3,\ 3,\ 1$

Hàng $4$: $1,\ 4,\ 6,\ 4,\ 1$

Chỉ với một quy tắc đó, ta có được một mẫu hình vừa dễ dựng bằng tay vừa hữu ích vượt xa chính sơ đồ này.

Cách lập tam giác Pascal

Quy tắc là cục bộ: mỗi số ở bên trong chỉ phụ thuộc vào hai số ngay phía trên nó. Ví dụ, ở hàng $4$, số $6$ ở giữa được tạo bởi

$$3 + 3 = 6$$

và số $4$ bên cạnh nó được tạo bởi

$$1 + 3 = 4$$

Vì vậy, bạn có thể tạo mỗi hàng mới từ hàng ngay trước đó mà không cần nhớ một công thức riêng.

Vì sao tam giác Pascal trùng với các hệ số nhị thức

Tam giác Pascal không chỉ là một mẫu hình trực quan. Nếu đỉnh trên cùng là hàng $0$, thì hàng $n$ cho các hệ số của $(a+b)^n$.

Cùng hàng đó cũng có thể được viết bằng tổ hợp:

$$\binom{n}{0},\ \binom{n}{1},\ \binom{n}{2},\ \dots,\ \binom{n}{n}$$

Ở đây, $\binom{n}{k}$ có nghĩa là "số cách chọn $k$ phần tử từ $n$ phần tử". Đó là lý do tam giác này kết nối đại số với bài toán đếm.

Ví dụ, hàng $4$ là

$$1,\ 4,\ 6,\ 4,\ 1$$

nên

$$(a+b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4$$

Đây là lý do chính khiến nhiều học sinh gặp tam giác Pascal khi học nhị thức Newton.

Ví dụ có lời giải: khai triển $(x+y)^5$

Dùng tam giác Pascal để khai triển

$$(x+y)^5$$

Nếu đỉnh trên cùng là hàng $0$, thì hàng $5$ là

$$1,\ 5,\ 10,\ 10,\ 5,\ 1$$

Bây giờ ghép các hệ số đó với lũy thừa giảm dần của $x$ và lũy thừa tăng dần của $y$:

$$(x+y)^5 = x^5 + 5x^4y + 10x^3y^2 + 10x^2y^3 + 5xy^4 + y^5$$

Ví dụ này cho thấy ý chính: tam giác Pascal cho các hệ số, nhưng bạn vẫn cần đặt các lũy thừa đúng thứ tự. Số mũ của $x$ bắt đầu từ $5$ và giảm về $0$, còn số mũ của $y$ bắt đầu từ $0$ và tăng lên $5$.

Những tính chất đáng nhớ

Một tính chất quan trọng là tính đối xứng. Ở hàng $5$, các số đọc từ trái sang phải hay từ phải sang trái đều giống nhau:

$$1,\ 5,\ 10,\ 10,\ 5,\ 1$$

Một tính chất hữu ích khác là tổng của một hàng. Nếu đỉnh trên cùng là hàng $0$, thì tổng các số ở hàng $n$ bằng $2^n$. Với hàng $5$,

$$1+5+10+10+5+1 = 32 = 2^5$$

Quy luật này rất hữu ích để kiểm tra nhanh. Nếu hàng $5$ của bạn không cộng lại được $32$, thì đã có sai sót ở đâu đó.

Những lỗi thường gặp với tam giác Pascal

Một lỗi phổ biến là nhầm số thứ tự của hàng. Nếu một tài liệu bắt đầu đếm hàng từ $1$ thay vì $0$, thì hàng hệ số của $(a+b)^n$ sẽ được ghi nhãn khác đi.

Một lỗi khác là cho rằng tam giác tự nó cho luôn toàn bộ khai triển. Nó cho các hệ số, nhưng bạn vẫn phải viết các lũy thừa cho đúng.

Lỗi thứ ba là cộng những số không nằm ngay phía trên vị trí cần tìm. Mỗi số ở bên trong được tạo từ đúng hai số kề nhau ở hàng phía trên.

Khi nào tam giác Pascal được dùng

Tam giác Pascal được dùng để khai triển nhị thức, đọc các hệ số nhị thức, đếm số tổ hợp và nhận ra một số quy luật xác suất đơn giản. Trong chương trình toán phổ thông, nó thường xuất hiện trước hoặc cùng với nhị thức Newton.

Nó cũng hữu ích như một cách kiểm tra nhanh. Nếu bạn đã khai triển $(a+b)^n$ bằng cách khác, thì các hệ số phải khớp với hàng tương ứng của tam giác.

Hãy thử một bài tương tự

Hãy lập hàng $6$ từ hàng $5$, rồi dùng nó để khai triển $(m+n)^6$. Đây là một cách gọn gàng để luyện cả hai phần của ý tưởng: tạo các hệ số và đặt các lũy thừa cho đúng.