Trójkąt Pascala — wzór, własności i zastosowania

Trójkąt Pascala to trójkątny układ liczb, w którym każda liczba wewnętrzna jest sumą dwóch liczb nad nią. Jeśli górę liczysz jako wiersz $0$, to wiersz $n$ daje współczynniki rozwinięcia $(a+b)^n$, dlatego ten wzór tak często pojawia się w algebrze i zliczaniu.

Jeśli oznaczysz górę jako wiersz $0$, to pierwsze kilka wierszy wygląda tak:

Wiersz $0$: $1$

Wiersz $1$: $1,\ 1$

Wiersz $2$: $1,\ 2,\ 1$

Wiersz $3$: $1,\ 3,\ 3,\ 1$

Wiersz $4$: $1,\ 4,\ 6,\ 4,\ 1$

Ta jedna zasada tworzy wzór, który łatwo zbudować ręcznie i który jest przydatny daleko poza samym diagramem.

Jak zbudować trójkąt Pascala

Zasada jest lokalna: każda liczba wewnętrzna zależy tylko od dwóch liczb nad nią. Na przykład w wierszu $4$ środkowe $6$ powstaje z

$$3 + 3 = 6$$

a stojące obok $4$ powstaje z

$$1 + 3 = 4$$

Dzięki temu możesz tworzyć każdy nowy wiersz na podstawie poprzedniego, bez zapamiętywania osobnego wzoru.

Dlaczego trójkąt Pascala odpowiada współczynnikom dwumianowym

Trójkąt Pascala to nie tylko wizualny wzór. Jeśli góra to wiersz $0$, to wiersz $n$ daje współczynniki rozwinięcia $(a+b)^n$.

Ten sam wiersz można też zapisać za pomocą kombinacji:

$$\binom{n}{0},\ \binom{n}{1},\ \binom{n}{2},\ \dots,\ \binom{n}{n}$$

Tutaj $\binom{n}{k}$ oznacza „liczbę sposobów wybrania $k$ obiektów z $n$ obiektów”. Właśnie dlatego trójkąt łączy algebrę i zliczanie.

Na przykład wiersz $4$ to

$$1,\ 4,\ 6,\ 4,\ 1$$

więc

$$(a+b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4$$

To główny powód, dla którego wielu uczniów spotyka trójkąt Pascala podczas nauki twierdzenia dwumianowego.

Przykład: rozwiń $(x+y)^5$

Użyj trójkąta Pascala, aby rozwinąć

$$(x+y)^5$$

Jeśli góra to wiersz $0$, to wiersz $5$ ma postać

$$1,\ 5,\ 10,\ 10,\ 5,\ 1$$

Teraz dopasuj te współczynniki do malejących potęg $x$ i rosnących potęg $y$:

$$(x+y)^5 = x^5 + 5x^4y + 10x^3y^2 + 10x^2y^3 + 5xy^4 + y^5$$

Ten przykład pokazuje najważniejszą ideę: trójkąt Pascala daje współczynniki, ale nadal trzeba poprawnie ustawić potęgi. Wykładnik przy $x$ zaczyna się od $5$ i maleje do $0$, a wykładnik przy $y$ zaczyna się od $0$ i rośnie do $5$.

Własności, które warto zapamiętać

Jedną z ważnych własności jest symetria. W wierszu $5$ liczby czyta się tak samo od lewej do prawej:

$$1,\ 5,\ 10,\ 10,\ 5,\ 1$$

Inną przydatną własnością jest suma wiersza. Jeśli góra to wiersz $0$, to liczby w wierszu $n$ sumują się do $2^n$. Dla wiersza $5$:

$$1+5+10+10+5+1 = 32 = 2^5$$

Ten wzór pomaga szybko sprawdzić wynik. Jeśli twój wiersz $5$ nie daje w sumie $32$, to gdzieś pojawił się błąd.

Typowe błędy przy trójkącie Pascala

Częstym błędem jest pomylenie numeru wiersza. Jeśli jakieś źródło zaczyna numerowanie od $1$ zamiast od $0$, to wiersz współczynników dla $(a+b)^n$ będzie oznaczony inaczej.

Inny błąd to założenie, że trójkąt sam z siebie daje całe rozwinięcie. Daje współczynniki, ale potęgi nadal trzeba zapisać poprawnie.

Trzeci błąd polega na dodawaniu liczb, które nie leżą bezpośrednio nad daną pozycją. Każda liczba wewnętrzna powstaje dokładnie z dwóch sąsiadów w wierszu powyżej.

Kiedy używa się trójkąta Pascala

Trójkąt Pascala służy do rozwijania dwumianów, odczytywania współczynników dwumianowych, liczenia kombinacji i rozpoznawania prostych wzorów w prawdopodobieństwie. W szkolnej matematyce często pojawia się przed twierdzeniem dwumianowym albo równolegle z nim.

Jest też przydatny jako szybka kontrola. Jeśli rozwinąłeś już $(a+b)^n$ inną metodą, współczynniki powinny zgadzać się z odpowiednim wierszem trójkąta.

Spróbuj podobnego zadania

Zbuduj wiersz $6$ na podstawie wiersza $5$, a potem użyj go do rozwinięcia $(m+n)^6$. To dobry sposób, by przećwiczyć obie części tej idei: wyznaczanie współczynników i poprawne ustawianie potęg.