Segitiga Pascal — Pola, Sifat, dan Kegunaan

Segitiga Pascal adalah pola bilangan berbentuk segitiga, di mana setiap entri di bagian dalam merupakan jumlah dari dua entri di atasnya. Jika bagian paling atas dihitung sebagai baris $0$, maka baris $n$ memberikan koefisien dari $(a+b)^n$, itulah sebabnya pola ini sangat sering muncul dalam aljabar dan pencacahan.

Jika bagian paling atas diberi label baris $0$, beberapa baris pertamanya adalah:

Baris $0$: $1$

Baris $1$: $1,\ 1$

Baris $2$: $1,\ 2,\ 1$

Baris $3$: $1,\ 3,\ 3,\ 1$

Baris $4$: $1,\ 4,\ 6,\ 4,\ 1$

Satu aturan itu menghasilkan pola yang mudah dibuat dengan tangan dan berguna jauh melampaui diagramnya sendiri.

Cara menyusun segitiga Pascal

Aturannya bersifat lokal: setiap entri di bagian dalam hanya bergantung pada dua entri di atasnya. Misalnya, pada baris $4$, angka $6$ di tengah berasal dari

$$3 + 3 = 6$$

dan angka $4$ di sebelahnya berasal dari

$$1 + 3 = 4$$

Jadi, Anda dapat membentuk setiap baris baru dari baris sebelumnya, tanpa perlu menghafal rumus terpisah.

Mengapa segitiga Pascal cocok dengan koefisien binomial

Segitiga Pascal bukan sekadar pola visual. Jika bagian paling atas adalah baris $0$, maka baris $n$ memberikan koefisien dari $(a+b)^n$.

Baris yang sama juga dapat ditulis dengan kombinasi:

$$\binom{n}{0},\ \binom{n}{1},\ \binom{n}{2},\ \dots,\ \binom{n}{n}$$

Di sini, $\binom{n}{k}$ berarti "banyaknya cara memilih $k$ objek dari $n$ objek." Itulah sebabnya segitiga ini menghubungkan aljabar dan pencacahan.

Sebagai contoh, baris $4$ adalah

$$1,\ 4,\ 6,\ 4,\ 1$$

maka

$$(a+b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4$$

Inilah alasan utama banyak siswa mengenal segitiga Pascal saat mempelajari teorema binomial.

Contoh soal: uraikan $(x+y)^5$

Gunakan segitiga Pascal untuk menguraikan

$$(x+y)^5$$

Jika bagian paling atas adalah baris $0$, maka baris $5$ adalah

$$1,\ 5,\ 10,\ 10,\ 5,\ 1$$

Sekarang cocokkan koefisien tersebut dengan pangkat $x$ yang menurun dan pangkat $y$ yang meningkat:

$$(x+y)^5 = x^5 + 5x^4y + 10x^3y^2 + 10x^2y^3 + 5xy^4 + y^5$$

Contoh ini menunjukkan gagasan utamanya: segitiga Pascal memberikan koefisiennya, tetapi Anda tetap perlu menempatkan pangkatnya dengan urut. Eksponen $x$ dimulai dari $5$ lalu turun ke $0$, sedangkan eksponen $y$ dimulai dari $0$ lalu naik ke $5$.

Sifat yang perlu diingat

Salah satu sifat penting adalah simetri. Pada baris $5$, bilangannya terbaca sama dari kiri ke kanan:

$$1,\ 5,\ 10,\ 10,\ 5,\ 1$$

Sifat lain yang berguna adalah jumlah satu baris. Jika bagian paling atas adalah baris $0$, maka entri pada baris $n$ berjumlah $2^n$. Untuk baris $5$,

$$1+5+10+10+5+1 = 32 = 2^5$$

Pola ini membantu untuk pemeriksaan cepat. Jika baris $5$ Anda tidak berjumlah $32$, berarti ada yang salah.

Kesalahan umum pada segitiga Pascal

Salah satu kesalahan umum adalah tertukar dalam penomoran baris. Jika suatu sumber mulai menghitung baris dari $1$ alih-alih $0$, maka baris koefisien untuk $(a+b)^n$ akan diberi label berbeda.

Kesalahan lain adalah menganggap segitiga ini dengan sendirinya memberikan seluruh hasil ekspansi. Segitiga ini memberikan koefisien, tetapi Anda tetap harus menuliskan pangkatnya dengan benar.

Kesalahan ketiga adalah menjumlahkan entri yang tidak tepat berada di atas posisi target. Setiap bilangan di bagian dalam berasal dari tepat dua tetangga pada baris di atasnya.

Kapan segitiga Pascal digunakan

Segitiga Pascal digunakan untuk menguraikan binomial, membaca koefisien binomial, menghitung kombinasi, dan mengenali pola peluang sederhana. Dalam matematika sekolah, topik ini sering muncul sebelum atau bersamaan dengan teorema binomial.

Segitiga ini juga berguna sebagai pemeriksaan cepat. Jika Anda sudah menguraikan $(a+b)^n$ dengan cara lain, koefisiennya harus cocok dengan baris yang sesuai pada segitiga.

Coba soal serupa

Bentuk baris $6$ dari baris $5$, lalu gunakan untuk menguraikan $(m+n)^6$. Itu adalah cara yang rapi untuk melatih kedua bagian dari gagasan ini: membentuk koefisien dan menempatkan pangkat dengan benar.