สามเหลี่ยมปาสกาล — รูปแบบ สมบัติ และการใช้งาน

สามเหลี่ยมปาสกาลคือรูปแบบตัวเลขแบบสามเหลี่ยมที่แต่ละจำนวนด้านในเป็นผลบวกของสองจำนวนที่อยู่เหนือมัน ถ้านับด้านบนสุดเป็นแถว $0$ แถว $n$ จะให้สัมประสิทธิ์ของ $(a+b)^n$ จึงเป็นเหตุผลว่าทำไมรูปแบบนี้จึงปรากฏบ่อยมากในพีชคณิตและการนับ

ถ้ากำหนดให้ด้านบนสุดเป็นแถว $0$ แถวแรก ๆ จะเป็นดังนี้:

แถว $0$: $1$

แถว $1$: $1,\ 1$

แถว $2$: $1,\ 2,\ 1$

แถว $3$: $1,\ 3,\ 3,\ 1$

แถว $4$: $1,\ 4,\ 6,\ 4,\ 1$

กฎเพียงข้อเดียวนี้สร้างรูปแบบที่เขียนด้วยมือได้ง่าย และมีประโยชน์มากกว่าตัวแผนภาพเองมาก

วิธีสร้างสามเหลี่ยมปาสกาล

กฎนี้เป็นกฎเฉพาะตำแหน่ง: แต่ละจำนวนด้านในขึ้นอยู่กับเพียงสองจำนวนที่อยู่เหนือมัน ตัวอย่างเช่น ในแถว $4$ ค่า $6$ ตรงกลางมาจาก

$$3 + 3 = 6$$

และค่า $4$ ที่อยู่ข้าง ๆ มาจาก

$$1 + 3 = 4$$

ดังนั้นคุณจึงสร้างแต่ละแถวใหม่จากแถวก่อนหน้าได้ โดยไม่ต้องจำสูตรแยกต่างหาก

ทำไมสามเหลี่ยมปาสกาลจึงตรงกับสัมประสิทธิ์ทวินาม

สามเหลี่ยมปาสกาลไม่ได้เป็นแค่รูปแบบที่มองเห็นได้เท่านั้น ถ้าด้านบนสุดเป็นแถว $0$ แถว $n$ จะให้สัมประสิทธิ์ของ $(a+b)^n$

แถวเดียวกันนี้ยังเขียนด้วยคอมบิเนชันได้เป็น

$$\binom{n}{0},\ \binom{n}{1},\ \binom{n}{2},\ \dots,\ \binom{n}{n}$$

ในที่นี้ $\binom{n}{k}$ หมายถึง "จำนวนวิธีในการเลือกวัตถุ $k$ ชิ้นจากวัตถุ $n$ ชิ้น" นี่จึงเป็นเหตุผลที่สามเหลี่ยมนี้เชื่อมโยงทั้งพีชคณิตและการนับเข้าด้วยกัน

ตัวอย่างเช่น แถว $4$ คือ

$$1,\ 4,\ 6,\ 4,\ 1$$

ดังนั้น

$$(a+b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4$$

นี่คือเหตุผลหลักที่นักเรียนจำนวนมากได้พบสามเหลี่ยมปาสกาลเมื่อเรียนทฤษฎีบททวินาม

ตัวอย่างทำโจทย์: กระจาย $(x+y)^5$

ใช้สามเหลี่ยมปาสกาลเพื่อกระจาย

$$(x+y)^5$$

ถ้าด้านบนสุดเป็นแถว $0$ แถว $5$ จะเป็น

$$1,\ 5,\ 10,\ 10,\ 5,\ 1$$

จากนั้นจับคู่สัมประสิทธิ์เหล่านี้กับกำลังของ $x$ ที่ลดลงและกำลังของ $y$ ที่เพิ่มขึ้น:

$$(x+y)^5 = x^5 + 5x^4y + 10x^3y^2 + 10x^2y^3 + 5xy^4 + y^5$$

ตัวอย่างนี้แสดงแนวคิดสำคัญ: สามเหลี่ยมปาสกาลให้สัมประสิทธิ์ แต่คุณยังต้องวางกำลังให้ถูกลำดับ กำลังของ $x$ เริ่มที่ $5$ แล้วลดลงจนถึง $0$ ส่วนกำลังของ $y$ เริ่มที่ $0$ แล้วเพิ่มขึ้นจนถึง $5$

สมบัติที่ควรจำ

สมบัติสำคัญอย่างหนึ่งคือความสมมาตร ในแถว $5$ ตัวเลขจะอ่านได้เหมือนกันจากซ้ายไปขวา:

$$1,\ 5,\ 10,\ 10,\ 5,\ 1$$

อีกสมบัติที่มีประโยชน์คือผลบวกของแต่ละแถว ถ้าด้านบนสุดเป็นแถว $0$ จำนวนในแถว $n$ จะบวกกันได้ $2^n$ สำหรับแถว $5$,

$$1+5+10+10+5+1 = 32 = 2^5$$

รูปแบบนี้ช่วยให้ตรวจคำตอบได้อย่างรวดเร็ว ถ้าแถว $5$ ของคุณบวกกันแล้วไม่ใช่ $32$ แสดงว่ามีบางอย่างผิดพลาด

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยเกี่ยวกับสามเหลี่ยมปาสกาล

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยอย่างหนึ่งคือสับสนเรื่องหมายเลขแถว ถ้าแหล่งข้อมูลหนึ่งเริ่มนับแถวที่ $1$ แทน $0$ แถวของสัมประสิทธิ์สำหรับ $(a+b)^n$ ก็จะถูกระบุหมายเลขต่างออกไป

อีกข้อผิดพลาดหนึ่งคือคิดว่าสามเหลี่ยมนี้ให้การกระจายเต็มรูปได้เองทั้งหมด จริง ๆ แล้วมันให้เฉพาะสัมประสิทธิ์ แต่คุณยังต้องเขียนกำลังให้ถูกต้อง

ข้อผิดพลาดข้อที่สามคือบวกจำนวนที่ไม่ได้อยู่เหนือเป้าหมายโดยตรง แต่ละจำนวนด้านในมาจากเพื่อนบ้านสองตัวในแถวด้านบนเท่านั้น

สามเหลี่ยมปาสกาลถูกใช้เมื่อใด

สามเหลี่ยมปาสกาลใช้ในการกระจายทวินาม อ่านค่าสัมประสิทธิ์ทวินาม นับคอมบิเนชัน และสังเกตรูปแบบความน่าจะเป็นอย่างง่าย ในคณิตศาสตร์ระดับโรงเรียน มักปรากฏก่อนหรือพร้อมกับทฤษฎีบททวินาม

นอกจากนี้ยังมีประโยชน์สำหรับการตรวจคำตอบอย่างรวดเร็ว ถ้าคุณกระจาย $(a+b)^n$ ด้วยวิธีอื่นไว้แล้ว สัมประสิทธิ์ควรตรงกับแถวที่สอดคล้องกันของสามเหลี่ยม

ลองทำโจทย์ที่คล้ายกัน

สร้างแถว $6$ จากแถว $5$ แล้วใช้มันเพื่อกระจาย $(m+n)^6$ นี่เป็นวิธีที่ชัดเจนในการฝึกทั้งสองส่วนของแนวคิดนี้: การสร้างสัมประสิทธิ์และการวางกำลังให้ถูกต้อง