파스칼의 삼각형 — 패턴, 성질과 활용

파스칼의 삼각형은 내부의 각 수가 바로 위 두 수의 합이 되는 삼각형 형태의 수 패턴입니다. 맨 위를 $0$행으로 세면, $n$행은 $(a+b)^n$의 계수를 주기 때문에 이 패턴은 대수와 경우의 수에서 자주 등장합니다.

맨 위를 $0$행으로 두면, 처음 몇 개의 행은 다음과 같습니다.

$0$행: $1$

$1$행: $1,\ 1$

$2$행: $1,\ 2,\ 1$

$3$행: $1,\ 3,\ 3,\ 1$

$4$행: $1,\ 4,\ 6,\ 4,\ 1$

이 한 가지 규칙만으로도 손으로 쉽게 만들 수 있고, 단순한 그림 이상의 유용한 패턴이 만들어집니다.

파스칼의 삼각형 만드는 법

규칙은 국소적입니다. 내부의 각 수는 바로 위의 두 수에만 의존합니다. 예를 들어 $4$행에서 가운데의 $6$은 다음에서 나옵니다.

$$3 + 3 = 6$$

그리고 그 옆의 $4$는 다음에서 나옵니다.

$$1 + 3 = 4$$

따라서 별도의 공식을 외우지 않아도, 바로 앞 행만으로 새로운 행을 만들 수 있습니다.

왜 파스칼의 삼각형이 이항계수와 일치할까

파스칼의 삼각형은 단순한 시각적 패턴이 아닙니다. 맨 위가 $0$행이라면, $n$행은 $(a+b)^n$의 계수를 줍니다.

같은 행은 조합 기호로도 쓸 수 있습니다.

$$\binom{n}{0},\ \binom{n}{1},\ \binom{n}{2},\ \dots,\ \binom{n}{n}$$

여기서 $\binom{n}{k}$는 "$n$개 중에서 $k$개를 고르는 방법의 수"를 뜻합니다. 그래서 이 삼각형은 대수와 경우의 수를 연결해 줍니다.

예를 들어 $4$행은

$$1,\ 4,\ 6,\ 4,\ 1$$

이므로

$$(a+b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4$$

많은 학생들이 이항정리를 배울 때 파스칼의 삼각형을 함께 접하는 가장 큰 이유가 바로 이것입니다.

예제: $(x+y)^5$ 전개하기

파스칼의 삼각형을 사용해

$$(x+y)^5$$

를 전개해 봅시다.

맨 위를 $0$행으로 세면, $5$행은

$$1,\ 5,\ 10,\ 10,\ 5,\ 1$$

입니다.

이제 이 계수들을 $x$의 내림차순 거듭제곱과 $y$의 오름차순 거듭제곱에 맞춰 씁니다.

$$(x+y)^5 = x^5 + 5x^4y + 10x^3y^2 + 10x^2y^3 + 5xy^4 + y^5$$

이 예제의 핵심은 다음과 같습니다. 파스칼의 삼각형은 계수를 주지만, 거듭제곱은 여전히 순서에 맞게 직접 써야 합니다. $x$의 지수는 $5$에서 시작해 $0$까지 줄어들고, $y$의 지수는 $0$에서 시작해 $5$까지 늘어납니다.

기억해 둘 만한 성질

중요한 성질 하나는 대칭성입니다. $5$행의 수는 왼쪽에서 오른쪽으로 읽어도 같습니다.

$$1,\ 5,\ 10,\ 10,\ 5,\ 1$$

또 다른 유용한 성질은 행의 합입니다. 맨 위를 $0$행으로 세면, $n$행의 모든 수를 더한 값은 $2^n$이 됩니다. $5$행의 경우,

$$1+5+10+10+5+1 = 32 = 2^5$$

입니다.

이 패턴은 빠르게 확인할 때 유용합니다. 만약 $5$행의 합이 $32$가 아니라면, 어딘가에서 잘못된 것입니다.

파스칼의 삼각형에서 자주 하는 실수

흔한 실수 하나는 행 번호를 혼동하는 것입니다. 어떤 자료는 행을 $0$이 아니라 $1$부터 세기 때문에, $(a+b)^n$에 대응하는 계수 행의 이름이 다르게 붙을 수 있습니다.

또 다른 실수는 삼각형만으로 전개식 전체가 완성된다고 생각하는 것입니다. 삼각형은 계수만 주고, 거듭제곱은 여전히 올바르게 써야 합니다.

세 번째 실수는 목표 위치의 바로 위에 있지 않은 수들을 더하는 것입니다. 내부의 각 수는 윗행의 정확히 두 이웃한 수에서만 만들어집니다.

파스칼의 삼각형은 언제 쓰일까

파스칼의 삼각형은 이항식 전개, 이항계수 확인, 조합의 개수 계산, 그리고 간단한 확률 패턴을 알아볼 때 사용됩니다. 학교 수학에서는 이항정리보다 먼저 나오거나, 이항정리와 함께 등장하는 경우가 많습니다.

또한 빠른 검산 도구로도 유용합니다. 이미 다른 방법으로 $(a+b)^n$을 전개했다면, 그 계수는 삼각형의 해당 행과 일치해야 합니다.

비슷한 문제를 풀어 보세요

$5$행에서 $6$행을 만든 뒤, 그것을 이용해 $(m+n)^6$을 전개해 보세요. 이렇게 하면 계수를 만드는 과정과 거듭제곱을 올바르게 배치하는 과정을 함께 연습할 수 있습니다.