Το τρίγωνο του Pascal — Μοτίβο, ιδιότητες και χρήσεις

Το τρίγωνο του Pascal είναι το τριγωνικό αριθμητικό μοτίβο όπου κάθε εσωτερικός όρος είναι το άθροισμα των δύο όρων από πάνω του. Αν μετρήσεις την κορυφή ως γραμμή $0$, η γραμμή $n$ δίνει τους συντελεστές του $(a+b)^n$, γι’ αυτό και αυτό το μοτίβο εμφανίζεται τόσο συχνά στην άλγεβρα και στην απαρίθμηση.

Αν σημειώσεις την κορυφή ως γραμμή $0$, οι πρώτες λίγες γραμμές είναι:

Γραμμή $0$: $1$

Γραμμή $1$: $1,\ 1$

Γραμμή $2$: $1,\ 2,\ 1$

Γραμμή $3$: $1,\ 3,\ 3,\ 1$

Γραμμή $4$: $1,\ 4,\ 6,\ 4,\ 1$

Αυτός ο ένας κανόνας δημιουργεί ένα μοτίβο που είναι εύκολο να κατασκευαστεί με το χέρι και χρήσιμο πολύ πέρα από το ίδιο το διάγραμμα.

Πώς να κατασκευάσεις το τρίγωνο του Pascal

Ο κανόνας είναι τοπικός: κάθε εσωτερικός όρος εξαρτάται μόνο από τους δύο όρους από πάνω του. Για παράδειγμα, στη γραμμή $4$, το μεσαίο $6$ προκύπτει από

$$3 + 3 = 6$$

και το διπλανό του $4$ προκύπτει από

$$1 + 3 = 4$$

Άρα μπορείς να παράγεις κάθε νέα γραμμή από την προηγούμενη, χωρίς να απομνημονεύεις ξεχωριστό τύπο.

Γιατί το τρίγωνο του Pascal ταιριάζει με τους διωνυμικούς συντελεστές

Το τρίγωνο του Pascal δεν είναι απλώς ένα οπτικό μοτίβο. Αν η κορυφή είναι η γραμμή $0$, τότε η γραμμή $n$ δίνει τους συντελεστές του $(a+b)^n$.

Η ίδια γραμμή μπορεί επίσης να γραφτεί με συνδυασμούς:

$$\binom{n}{0},\ \binom{n}{1},\ \binom{n}{2},\ \dots,\ \binom{n}{n}$$

Εδώ, το $\binom{n}{k}$ σημαίνει «ο αριθμός των τρόπων να επιλέξουμε $k$ αντικείμενα από $n$ αντικείμενα». Γι’ αυτό το τρίγωνο συνδέει την άλγεβρα με την απαρίθμηση.

Για παράδειγμα, η γραμμή $4$ είναι

$$1,\ 4,\ 6,\ 4,\ 1$$

οπότε

$$(a+b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4$$

Αυτός είναι ο βασικός λόγος που πολλοί μαθητές συναντούν το τρίγωνο του Pascal όταν μελετούν το διωνυμικό θεώρημα.

Λυμένο παράδειγμα: ανάπτυξε το $(x+y)^5$

Χρησιμοποίησε το τρίγωνο του Pascal για να αναπτύξεις το

$$(x+y)^5$$

Αν η κορυφή είναι η γραμμή $0$, τότε η γραμμή $5$ είναι

$$1,\ 5,\ 10,\ 10,\ 5,\ 1$$

Τώρα ταίριαξε αυτούς τους συντελεστές με φθίνουσες δυνάμεις του $x$ και αύξουσες δυνάμεις του $y$:

$$(x+y)^5 = x^5 + 5x^4y + 10x^3y^2 + 10x^2y^3 + 5xy^4 + y^5$$

Αυτό το παράδειγμα δείχνει τη βασική ιδέα: το τρίγωνο του Pascal δίνει τους συντελεστές, αλλά πρέπει ακόμη να τοποθετήσεις σωστά τις δυνάμεις. Ο εκθέτης του $x$ ξεκινά από το $5$ και μειώνεται μέχρι το $0$, ενώ ο εκθέτης του $y$ ξεκινά από το $0$ και αυξάνεται μέχρι το $5$.

Ιδιότητες που αξίζει να θυμάσαι

Μια σημαντική ιδιότητα είναι η συμμετρία. Στη γραμμή $5$, οι αριθμοί διαβάζονται το ίδιο από αριστερά προς τα δεξιά:

$$1,\ 5,\ 10,\ 10,\ 5,\ 1$$

Μια άλλη χρήσιμη ιδιότητα είναι το άθροισμα της γραμμής. Αν η κορυφή είναι η γραμμή $0$, τότε οι όροι της γραμμής $n$ έχουν άθροισμα $2^n$. Για τη γραμμή $5$,

$$1+5+10+10+5+1 = 32 = 2^5$$

Αυτό το μοτίβο είναι χρήσιμο για γρήγορους ελέγχους. Αν η γραμμή $5$ σου δεν έχει άθροισμα $32$, κάτι πήγε λάθος.

Συνηθισμένα λάθη στο τρίγωνο του Pascal

Ένα συνηθισμένο λάθος είναι η σύγχυση στην αρίθμηση των γραμμών. Αν μια πηγή αρχίζει να μετρά τις γραμμές από το $1$ αντί για το $0$, τότε η γραμμή των συντελεστών για το $(a+b)^n$ θα έχει διαφορετική αρίθμηση.

Ένα άλλο λάθος είναι να υποθέτεις ότι το τρίγωνο δίνει από μόνο του όλη την ανάπτυξη. Δίνει τους συντελεστές, αλλά πρέπει ακόμη να γράψεις σωστά τις δυνάμεις.

Ένα τρίτο λάθος είναι να προσθέτεις όρους που δεν βρίσκονται ακριβώς από πάνω από τη θέση-στόχο. Κάθε εσωτερικός αριθμός προκύπτει από ακριβώς δύο γειτονικούς όρους στην από πάνω γραμμή.

Πότε χρησιμοποιείται το τρίγωνο του Pascal

Το τρίγωνο του Pascal χρησιμοποιείται για την ανάπτυξη διωνύμων, την ανάγνωση διωνυμικών συντελεστών, την καταμέτρηση συνδυασμών και την αναγνώριση απλών μοτίβων πιθανοτήτων. Στα σχολικά μαθηματικά, εμφανίζεται συχνά πριν ή μαζί με το διωνυμικό θεώρημα.

Είναι επίσης χρήσιμο ως γρήγορος έλεγχος. Αν έχεις ήδη αναπτύξει το $(a+b)^n$ με άλλον τρόπο, οι συντελεστές πρέπει να ταιριάζουν με την αντίστοιχη γραμμή του τριγώνου.

Δοκίμασε ένα παρόμοιο πρόβλημα

Κατασκεύασε τη γραμμή $6$ από τη γραμμή $5$ και μετά χρησιμοποίησέ τη για να αναπτύξεις το $(m+n)^6$. Είναι ένας καθαρός τρόπος να εξασκήσεις και τα δύο μέρη της ιδέας: την παραγωγή των συντελεστών και τη σωστή τοποθέτηση των δυνάμεων.