Dãy Fibonacci — Quy luật, Công thức & Tỷ lệ vàng

Dãy Fibonacci là một quy luật số, trong đó mỗi số hạng bằng tổng của hai số hạng đứng trước nó. Theo quy ước phổ biến $F_0 = 0$ và $F_1 = 1$, ta có quy tắc

$$F_n = F_{n-1} + F_{n-2} \qquad (n \ge 2)$$

nên dãy bắt đầu là

$$0,\ 1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 5,\ 8,\ 13,\ 21,\dots$$

Nếu bạn chỉ cần ý chính, thì đó là: bắt đầu với hai giá trị, rồi liên tục cộng hai giá trị trước đó để được giá trị tiếp theo.

Dãy Fibonacci là gì

Dãy Fibonacci được xác định bởi một hệ thức truy hồi. Điều đó có nghĩa là mỗi số hạng mới được tạo từ các số hạng trước đó, chứ không phải từ một công thức trực tiếp duy nhất áp dụng một lần.

Dãy này phụ thuộc vào quy ước ban đầu. Nhiều sách giáo khoa dùng $F_0 = 0$ và $F_1 = 1$. Một số khác dùng $F_1 = 1$ và $F_2 = 1$. Quy luật số là như nhau, nhưng cách đánh chỉ số bị dịch đi, nên luôn kiểm tra cách đánh chỉ số trước khi so sánh đáp án.

Công thức dãy Fibonacci

Công thức chính là hệ thức truy hồi:

$$F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$$

Nó cho biết mỗi số hạng được tạo từ hai số hạng trước đó. Ví dụ,

$$F_5 = F_4 + F_3 = 3 + 2 = 5$$

Ngoài ra còn có một công thức tường minh, thường được gọi là công thức Binet. Theo quy ước $F_0 = 0$ và $F_1 = 1$,

$$F_n = \frac{\phi^n - \psi^n}{\sqrt{5}}$$

trong đó

$$\phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}, \qquad \psi = \frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

Với đa số học sinh, hệ thức truy hồi là điểm bắt đầu phù hợp hơn. Công thức Binet hữu ích vì nó liên hệ các số Fibonacci với lũy thừa và với tỷ lệ vàng, nhưng bạn không cần nó để tạo ra các số hạng.

Vì sao các tỷ số Fibonacci tiến gần đến tỷ lệ vàng

Với các số hạng Fibonacci dương, tỷ số của hai số hạng liên tiếp ngày càng gần tỷ lệ vàng:

$$\phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1.618$$

Chính xác hơn, nếu xét

$$\frac{F_{n+1}}{F_n}$$

với $n$ ngày càng lớn và $F_n \ne 0$, thì tỷ số này tiến tới $\phi$. Điều đó không có nghĩa là mọi tỷ số đều bằng $\phi$. Nó có nghĩa là các tỷ số hội tụ về $\phi$ khi $n$ tăng lên.

Ví dụ mẫu: tìm $F_8$

Dùng hệ thức truy hồi để tìm $F_8$, rồi kiểm tra một tỷ số gần đó.

Bắt đầu với

$$F_0 = 0,\qquad F_1 = 1$$

Sau đó tính tiếp từng bước:

$$F_2 = 1,\quad F_3 = 2,\quad F_4 = 3,\quad F_5 = 5,\quad F_6 = 8,\quad F_7 = 13,\quad F_8 = 21$$

Vậy

$$F_8 = 21$$

Bây giờ so sánh một tỷ số của hai số hạng liên tiếp:

$$\frac{F_8}{F_7} = \frac{21}{13} \approx 1.615$$

Giá trị này gần với

$$\phi \approx 1.618$$

Đó là mối liên hệ quan trọng: các số Fibonacci là số nguyên, nhưng tỷ số của các số hạng liên tiếp lại tiến dần về tỷ lệ vàng.

Những lỗi thường gặp với dãy Fibonacci

Nhầm chỉ số bắt đầu

Nếu một nguồn bắt đầu với $F_0 = 0, F_1 = 1$ còn nguồn khác bắt đầu với $F_1 = 1, F_2 = 1$, thì cùng một nhãn số hạng có thể chỉ những số khác nhau. Luôn kiểm tra quy ước trước.

Nghĩ rằng tỷ số luôn đúng bằng tỷ lệ vàng

Tỷ số $\frac{F_{n+1}}{F_n}$ tiến tới $\phi$ khi $n$ lớn, nhưng các tỷ số ban đầu chỉ là giá trị gần đúng. Ví dụ, $\frac{5}{3} \approx 1.667$, không bằng $\phi$.

Dùng hệ thức truy hồi mà không có hai giá trị ban đầu

Quy tắc này cần hai số hạng đầu. Nếu không có chúng, dãy chưa được xác định đầy đủ.

Coi mọi “quy luật tăng dần” đều là Fibonacci

Một quy luật chỉ là Fibonacci nếu mỗi số hạng thực sự bằng tổng của hai số hạng trước đó, theo một quy ước ban đầu đã nêu rõ. Chỉ nhìn giống nhau thì chưa đủ.

Khi nào dãy Fibonacci được dùng

Dãy Fibonacci xuất hiện trong các bài toán đếm, nơi mỗi trường hợp có thể được xây dựng từ hai trường hợp trước đó. Nó cũng là một ví dụ chuẩn trong đại số, toán rời rạc, thuật toán và các chứng minh bằng quy nạp.

Nó quan trọng không chỉ trong riêng chủ đề này vì nó dạy cùng lúc ba ý tưởng: định nghĩa đệ quy, công thức tường minh và hành vi giới hạn. Chính sự kết hợp đó khiến nó xuất hiện rất thường xuyên trong các khóa học toán.

Tự thử một phiên bản của bạn

Viết dãy đến $F_{10}$, rồi tính $\frac{F_{10}}{F_9}$. So sánh kết quả của bạn với $\phi \approx 1.618$.

Nếu muốn làm thêm một trường hợp nữa, hãy thử với một chỉ số đích khác và xem tỷ số ổn định nhanh đến mức nào.