Fibonacci-Folge — Muster, Formel & Goldener Schnitt

Die Fibonacci-Folge ist ein Zahlenmuster, bei dem jedes Glied die Summe der beiden vorherigen ist. Mit der üblichen Konvention $F_0 = 0$ und $F_1 = 1$ lautet die Regel

$$F_n = F_{n-1} + F_{n-2} \qquad (n \ge 2)$$

also beginnt die Folge mit

$$0,\ 1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 5,\ 8,\ 13,\ 21,\dots$$

Wenn du nur die Grundidee brauchst, dann ist sie diese: Beginne mit zwei Werten und addiere dann immer die beiden vorherigen, um den nächsten zu erhalten.

Was die Fibonacci-Folge ist

Die Fibonacci-Folge ist durch eine Rekursionsgleichung definiert. Das bedeutet, dass jedes neue Glied aus früheren Gliedern aufgebaut wird und nicht aus einer einzigen direkten Regel entsteht, die man nur einmal anwendet.

Diese Folge hängt von der gewählten Startkonvention ab. Viele Lehrbücher verwenden $F_0 = 0$ und $F_1 = 1$. Andere verwenden $F_1 = 1$ und $F_2 = 1$. Das Zahlenmuster ist dasselbe, aber die Bezeichnungen verschieben sich, also prüfe immer die Indizierung, bevor du Ergebnisse vergleichst.

Formel der Fibonacci-Folge

Die wichtigste Formel ist die Rekursion:

$$F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$$

Sie besagt, dass jedes Glied aus den beiden vorherigen entsteht. Zum Beispiel gilt

$$F_5 = F_4 + F_3 = 3 + 2 = 5$$

Es gibt auch eine geschlossene Form, die oft Binetsche Formel genannt wird. Unter der Konvention $F_0 = 0$ und $F_1 = 1$ gilt

$$F_n = \frac{\phi^n - \psi^n}{\sqrt{5}}$$

wobei

$$\phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}, \qquad \psi = \frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

Für die meisten Schülerinnen und Schüler ist die Rekursion der bessere Einstieg. Die Binetsche Formel ist nützlich, weil sie Fibonacci-Zahlen mit Potenzen und dem Goldenen Schnitt verbindet, aber man braucht sie nicht, um Glieder zu erzeugen.

Warum sich Fibonacci-Verhältnisse dem Goldenen Schnitt nähern

Bei positiven Fibonacci-Gliedern nähert sich das Verhältnis aufeinanderfolgender Glieder dem Goldenen Schnitt:

$$\phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1.618$$

Genauer gesagt: Wenn du

$$\frac{F_{n+1}}{F_n}$$

für immer größere $n$ mit $F_n \ne 0$ betrachtest, dann nähert sich das Verhältnis $\phi$. Das bedeutet nicht, dass jedes Verhältnis gleich $\phi$ ist. Es bedeutet, dass die Verhältnisse gegen $\phi$ konvergieren, wenn $n$ größer wird.

Durchgerechnetes Beispiel: Bestimme $F_8$

Verwende die Rekursion, um $F_8$ zu bestimmen, und prüfe dann ein benachbartes Verhältnis.

Beginne mit

$$F_0 = 0,\qquad F_1 = 1$$

Dann gehst du Schritt für Schritt weiter:

$$F_2 = 1,\quad F_3 = 2,\quad F_4 = 3,\quad F_5 = 5,\quad F_6 = 8,\quad F_7 = 13,\quad F_8 = 21$$

Also ist

$$F_8 = 21$$

Vergleiche nun ein Verhältnis aufeinanderfolgender Glieder:

$$\frac{F_8}{F_7} = \frac{21}{13} \approx 1.615$$

Das liegt nahe bei

$$\phi \approx 1.618$$

Das ist die zentrale Verbindung: Die Fibonacci-Zahlen sind ganze Zahlen, aber die Verhältnisse aufeinanderfolgender Glieder bewegen sich auf den Goldenen Schnitt zu.

Häufige Fehler bei der Fibonacci-Folge

Den Startindex verwechseln

Wenn eine Quelle mit $F_0 = 0, F_1 = 1$ beginnt und eine andere mit $F_1 = 1, F_2 = 1$, dann kann dieselbe Gliedbezeichnung verschiedene Zahlen meinen. Prüfe immer zuerst die Konvention.

Denken, das Verhältnis sei immer genau der Goldene Schnitt

Das Verhältnis $\frac{F_{n+1}}{F_n}$ nähert sich für große $n$ an $\phi$ an, aber frühe Verhältnisse sind nur Näherungen. Zum Beispiel ist $\frac{5}{3} \approx 1.667$ und damit nicht gleich $\phi$.

Die Rekursion ohne zwei Startwerte verwenden

Die Regel braucht zwei Anfangsglieder. Ohne sie ist die Folge nicht vollständig festgelegt.

Jedes „wachsende Muster“ als Fibonacci ansehen

Ein Muster ist nur dann Fibonacci, wenn jedes Glied unter einer angegebenen Startkonvention tatsächlich die Summe der beiden vorherigen ist. Ähnlich aussehende Listen reichen nicht aus.

Wann die Fibonacci-Folge verwendet wird

Die Fibonacci-Folge taucht in Zählproblemen auf, bei denen jeder Fall aus den beiden vorherigen Fällen aufgebaut werden kann. Sie ist außerdem ein Standardbeispiel in Algebra, diskreter Mathematik, Algorithmen und Beweisen durch vollständige Induktion.

Sie ist auch über dieses einzelne Thema hinaus wichtig, weil sie drei Ideen gleichzeitig vermittelt: rekursive Definition, geschlossene Form und Grenzverhalten. Diese Kombination ist der Grund, warum sie in Mathematikkursen so oft vorkommt.

Probiere deine eigene Version

Schreibe die Folge bis $F_{10}$ auf und berechne dann $\frac{F_{10}}{F_9}$. Vergleiche dein Ergebnis mit $\phi \approx 1.618$.

Wenn du danach noch einen weiteren Fall möchtest, probiere eine eigene Variante mit einem anderen Zielindex aus und sieh, wie schnell sich das Verhältnis einpendelt.