Ciąg Fibonacciego — wzór, schemat i złota proporcja

Ciąg Fibonacciego to schemat liczbowy, w którym każdy wyraz jest sumą dwóch poprzednich. Przy standardowej konwencji $F_0 = 0$ i $F_1 = 1$ obowiązuje wzór

$$F_n = F_{n-1} + F_{n-2} \qquad (n \ge 2)$$

więc ciąg zaczyna się tak:

$$0,\ 1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 5,\ 8,\ 13,\ 21,\dots$$

Jeśli potrzebujesz tylko głównej idei, jest ona taka: zacznij od dwóch wartości, a potem za każdym razem dodawaj dwa poprzednie wyrazy, aby otrzymać następny.

Czym jest ciąg Fibonacciego

Ciąg Fibonacciego jest zdefiniowany za pomocą zależności rekurencyjnej. Oznacza to, że każdy nowy wyraz powstaje z wcześniejszych wyrazów, a nie z jednego bezpośredniego wzoru stosowanego tylko raz.

Ten ciąg zależy od przyjętej konwencji początkowej. Wiele podręczników używa $F_0 = 0$ i $F_1 = 1$. Inne stosują $F_1 = 1$ i $F_2 = 1$. Schemat liczbowy jest ten sam, ale oznaczenia wyrazów są przesunięte, więc przed porównywaniem odpowiedzi zawsze sprawdź indeksowanie.

Wzór na ciąg Fibonacciego

Podstawowym wzorem jest zależność rekurencyjna:

$$F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$$

Mówi ona, że każdy wyraz powstaje z dwóch poprzednich. Na przykład

$$F_5 = F_4 + F_3 = 3 + 2 = 5$$

Istnieje też wzór jawny, często nazywany wzorem Bineta. Przy konwencji $F_0 = 0$ i $F_1 = 1$ mamy

$$F_n = \frac{\phi^n - \psi^n}{\sqrt{5}}$$

gdzie

$$\phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}, \qquad \psi = \frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

Dla większości uczniów i studentów lepszym punktem wyjścia jest rekurencja. Wzór Bineta jest przydatny, bo łączy liczby Fibonacciego z potęgami i ze złotą proporcją, ale nie jest potrzebny do wyznaczania kolejnych wyrazów.

Dlaczego ilorazy kolejnych wyrazów zbliżają się do złotej proporcji

Dla dodatnich wyrazów ciągu Fibonacciego iloraz kolejnych wyrazów coraz bardziej zbliża się do złotej proporcji:

$$\phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1.618$$

Dokładniej, jeśli rozpatrzysz

$$\frac{F_{n+1}}{F_n}$$

dla coraz większych $n$ przy założeniu $F_n \ne 0$, to ten iloraz dąży do $\phi$. Nie oznacza to, że każdy iloraz jest równy $\phi$. Oznacza to, że ilorazy są zbieżne do $\phi$, gdy $n$ rośnie.

Przykład: wyznacz $F_8$

Użyj zależności rekurencyjnej, aby obliczyć $F_8$, a następnie sprawdź iloraz sąsiednich wyrazów.

Zacznij od

$$F_0 = 0,\qquad F_1 = 1$$

Następnie wyznaczaj kolejne wyrazy krok po kroku:

$$F_2 = 1,\quad F_3 = 2,\quad F_4 = 3,\quad F_5 = 5,\quad F_6 = 8,\quad F_7 = 13,\quad F_8 = 21$$

Zatem

$$F_8 = 21$$

Teraz porównaj iloraz kolejnych wyrazów:

$$\frac{F_8}{F_7} = \frac{21}{13} \approx 1.615$$

To jest bliskie wartości

$$\phi \approx 1.618$$

To jest najważniejsze powiązanie: liczby Fibonacciego są liczbami całkowitymi, ale ilorazy kolejnych wyrazów zbliżają się do złotej proporcji.

Najczęstsze błędy w ciągu Fibonacciego

Mylenie indeksu początkowego

Jeśli jedno źródło zaczyna od $F_0 = 0, F_1 = 1$, a inne od $F_1 = 1, F_2 = 1$, to ta sama etykieta wyrazu może oznaczać inną liczbę. Zawsze najpierw sprawdź przyjętą konwencję.

Przekonanie, że iloraz zawsze jest dokładnie równy złotej proporcji

Iloraz $\frac{F_{n+1}}{F_n}$ dąży do $\phi$ dla dużych $n$, ale początkowe ilorazy są tylko przybliżeniami. Na przykład $\frac{5}{3} \approx 1.667$, co nie jest równe $\phi$.

Używanie rekurencji bez dwóch wartości początkowych

Ta reguła wymaga dwóch wyrazów początkowych. Bez nich ciąg nie jest jednoznacznie wyznaczony.

Traktowanie każdego „rosnącego schematu” jako ciągu Fibonacciego

Schemat jest ciągiem Fibonacciego tylko wtedy, gdy każdy wyraz rzeczywiście jest sumą dwóch poprzednich, przy jasno podanej konwencji początkowej. Samo podobieństwo listy liczb nie wystarczy.

Gdzie wykorzystuje się ciąg Fibonacciego

Ciąg Fibonacciego pojawia się w zadaniach zliczania, w których każdy przypadek można zbudować z dwóch wcześniejszych przypadków. Jest też standardowym przykładem w algebrze, matematyce dyskretnej, algorytmach i dowodach indukcyjnych.

Jest ważny nie tylko w tym jednym temacie, ponieważ uczy jednocześnie trzech idei: definicji rekurencyjnej, wzoru jawnego i zachowania granicznego. To właśnie dlatego tak często pojawia się na kursach matematyki.

Spróbuj samodzielnie

Wypisz ciąg do $F_{10}$, a następnie oblicz $\frac{F_{10}}{F_9}$. Porównaj swój wynik z $\phi \approx 1.618$.

Jeśli chcesz zrobić jeszcze jedno ćwiczenie, wybierz inny docelowy indeks i sprawdź, jak szybko ten iloraz się stabilizuje.