フィボナッチ数列 — 規則・公式・黄金比

フィボナッチ数列は、各項がその前の2つの項の和になっている数の並びです。よく使われる約束 $F_0 = 0$、$F_1 = 1$ を用いると、規則は

$$F_n = F_{n-1} + F_{n-2} \qquad (n \ge 2)$$

となります。

したがって、数列は

$$0,\ 1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 5,\ 8,\ 13,\ 21,\dots$$

のように始まります。

要点だけをつかむなら、こう考えれば十分です。最初に2つの値を決めて、その後は直前の2つを足して次の項を作っていきます。

フィボナッチ数列とは

フィボナッチ数列は、漸化式によって定義されます。つまり、新しい項は前の項から作られ、1回だけ使う単独の直接公式で決まるわけではありません。

この数列は、どこから始めるかという約束に依存します。多くの教科書では $F_0 = 0$、$F_1 = 1$ を使いますが、$F_1 = 1$、$F_2 = 1$ を使うものもあります。数の並び自体は同じでも、項の番号がずれるので、答えを比べる前に添字の付け方を必ず確認しましょう。

フィボナッチ数列の公式

基本となる公式は、次の漸化式です。

$$F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$$

これは、各項が直前の2項から作られることを表しています。たとえば、

$$F_5 = F_4 + F_3 = 3 + 2 = 5$$

です。

また、閉じた形の公式もあり、一般にビネの公式と呼ばれます。$F_0 = 0$、$F_1 = 1$ という約束のもとでは、

$$F_n = \frac{\phi^n - \psi^n}{\sqrt{5}}$$

となります。ここで、

$$\phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}, \qquad \psi = \frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

です。

多くの学生にとっては、まず漸化式から始めるのがわかりやすいでしょう。ビネの公式は、フィボナッチ数が累乗や黄金比とつながっていることを示すのに便利ですが、項を求めるだけなら必須ではありません。

なぜフィボナッチ数列の比は黄金比に近づくのか

正のフィボナッチ数については、隣り合う項の比は黄金比に近づいていきます。

$$\phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1.618$$

より正確には、

$$\frac{F_{n+1}}{F_n}$$

を考えると、$F_n \ne 0$ のもとで $n$ が大きくなるにつれて、この比は $\phi$ に近づきます。これは、すべての比が $\phi$ と等しいという意味ではありません。$n$ が大きくなると比が $\phi$ に収束する、という意味です。

計算例：$F_8$ を求める

漸化式を使って $F_8$ を求め、そのあと近くの項の比も確認してみましょう。

まず、

$$F_0 = 0,\qquad F_1 = 1$$

から始めます。

次に、1段階ずつ先へ進めます。

$$F_2 = 1,\quad F_3 = 2,\quad F_4 = 3,\quad F_5 = 5,\quad F_6 = 8,\quad F_7 = 13,\quad F_8 = 21$$

したがって、

$$F_8 = 21$$

です。

では、隣り合う項の比を比べてみます。

$$\frac{F_8}{F_7} = \frac{21}{13} \approx 1.615$$

これは

$$\phi \approx 1.618$$

に近い値です。

ここが重要なつながりです。フィボナッチ数そのものは整数ですが、隣り合う項の比は黄金比へ近づいていきます。

フィボナッチ数列でよくある間違い

最初の添字を取り違える

ある資料では $F_0 = 0, F_1 = 1$ から始まり、別の資料では $F_1 = 1, F_2 = 1$ から始まることがあります。そのため、同じ項番号でも違う数を指す場合があります。まず約束を確認しましょう。

比がいつも黄金比とぴったり等しいと思う

比 $\frac{F_{n+1}}{F_n}$ は $n$ が大きいときに $\phi$ に近づきますが、初めのほうの比はあくまで近似です。たとえば、$\frac{5}{3} \approx 1.667$ であり、$\phi$ と等しくはありません。

初項を2つ決めずに漸化式を使う

この規則には、最初の2項が必要です。それらがなければ、数列は一意に定まりません。

すべての「増えていく並び」をフィボナッチだと考える

ある並びがフィボナッチ数列であるためには、はっきりした初期条件のもとで、各項が本当に直前の2項の和になっていなければなりません。見た目が似ているだけでは不十分です。

フィボナッチ数列はいつ使われるか

フィボナッチ数列は、各場合がその前の2つの場合から作られるような数え上げの問題に現れます。また、代数、離散数学、アルゴリズム、数学的帰納法の標準的な例としてもよく使われます。

この話題が重要なのは、1つの数列で3つの考え方を同時に学べるからです。つまり、再帰的な定義、閉じた形の公式、そして極限のふるまいです。その組み合わせが、数学の授業で何度も登場する理由です。

自分でもやってみよう

$F_{10}$ まで数列を書き出し、そのあと $\frac{F_{10}}{F_9}$ を計算してみましょう。結果を $\phi \approx 1.618$ と比べてみてください。

さらにもう1問やるなら、別の項番号を目標にして同じことを試し、比がどれくらい速く落ち着いていくかを見てみましょう。