Giới hạn — Định nghĩa, Quy tắc và Cách tính

Trong giải tích, giới hạn là giá trị mà một hàm số tiến tới khi đầu vào tiến tới một điểm. Bạn dùng giới hạn khi việc thế trực tiếp không hữu ích, đặc biệt gần các điểm khuyết, điểm nhảy hoặc các biểu thức cho ra $0/0$.

Về ký hiệu,

$$\lim_{x \to a} f(x) = L$$

có nghĩa là khi $x$ tiến gần đến $a$, các giá trị của $f(x)$ tiến gần đến $L$.

Điểm quan trọng là giới hạn quan tâm đến hành vi lân cận, không chỉ giá trị chính xác tại $x=a$. Hàm số có thể nhận một giá trị khác tại đó, hoặc thậm chí không xác định tại đó, mà giới hạn vẫn có thể tồn tại.

Định nghĩa giới hạn: tiến tới, không phải chạm tới

Từ "giới hạn" nói về việc tiến tới, không phải chạm tới. Nếu

$$\lim_{x \to 2} f(x) = 5$$

thì điều đó không tự động có nghĩa là $f(2) = 5$. Nó có nghĩa là $f(x)$ tiến gần đến $5$ khi $x$ tiến gần đến $2$ từ cả hai phía.

Đó là lý do giới hạn quan trọng với hàm từng phần, biểu thức hữu tỉ và đồ thị có điểm khuyết. Chúng cho phép bạn mô tả hàm số đang làm gì gần một điểm ngay cả khi chính điểm đó có vấn đề.

Các quy tắc giới hạn có thể dùng an toàn

Khi các giới hạn đơn giản hơn tồn tại, bạn có thể kết hợp chúng để tính các giới hạn phức tạp hơn.

Nếu

$$\lim_{x \to a} f(x) = L \qquad \text{and} \qquad \lim_{x \to a} g(x) = M,$$

thì:

$$\lim_{x \to a} \left(f(x) + g(x)\right) = L + M$$ $$\lim_{x \to a} \left(c f(x)\right) = cL$$ $$\lim_{x \to a} \left(f(x)g(x)\right) = LM$$ $$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{L}{M} \qquad \text{if } M \ne 0$$

Điều kiện $M \ne 0$ rất quan trọng. Nếu giới hạn của mẫu số bằng $0$, quy tắc thương không cho phép bạn thực hiện bước đó.

Với đa thức và nhiều hàm quen thuộc, thế trực tiếp có hiệu quả vì hàm số liên tục tại điểm bạn đang xét.

Cách tính một giới hạn cơ bản

Hầu hết các bài toán giới hạn cơ bản đều theo cùng một trình tự:

1. Thử thế trực tiếp.
2. Nếu bạn nhận được một số thực thông thường, đó là giới hạn.
3. Nếu bạn nhận được một dạng vô định như $0/0$, hãy rút gọn trước.
4. Nếu biểu thức có thể có hành vi khác nhau ở hai phía, hãy so sánh các giới hạn một phía.

Ký hiệu một phía có dạng như sau:

$$\lim_{x \to a^-} f(x) \qquad \text{and} \qquad \lim_{x \to a^+} f(x)$$

Giới hạn đầy đủ chỉ tồn tại khi cả hai giới hạn một phía đều tồn tại và bằng nhau.

Ví dụ có lời giải: một giới hạn dạng $0/0$

Tính

$$\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1}$$

Thế trực tiếp cho

$$\frac{1^2 - 1}{1 - 1} = \frac{0}{0}$$

Đó không phải là đáp án. Nó chỉ cho biết việc thế trực tiếp chưa giải quyết xong bài toán.

Phân tích tử số thành nhân tử:

$$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$$

Với $x \ne 1$,

$$\frac{x^2 - 1}{x - 1} = \frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1} = x + 1$$

Bây giờ giới hạn trở nên dễ hơn:

$$\lim_{x \to 1} (x + 1) = 2$$

Vậy

$$\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} = 2$$

Hàm số ban đầu không xác định tại $x = 1$, nhưng giới hạn vẫn tồn tại vì các giá trị lân cận tiến tới $2$. Đây là mô hình điển hình của một gián đoạn có thể khử được.

Những lỗi thường gặp khi tính giới hạn

1. Xem $0/0$ là giá trị cuối cùng. Đó là dấu hiệu cảnh báo, không phải lời giải.
2. Cho rằng giới hạn nhất thiết phải bằng $f(a)$. Điều đó chỉ đúng khi hàm số liên tục tại $a$.
3. Dùng quy tắc thương khi giới hạn của mẫu bằng $0$. Khi đó điều kiện của quy tắc bị vi phạm.
4. Bỏ qua hành vi bên trái và bên phải. Nếu hai phía tiến tới hai giá trị khác nhau thì giới hạn không tồn tại.
5. Khử nhân tử mà không nêu điều kiện. Trong ví dụ trên, việc khử $x-1$ chỉ hợp lệ khi $x \ne 1$, và như vậy là đủ cho giới hạn vì giới hạn xét các điểm lân cận.

Giới hạn được dùng ở đâu trong giải tích

Giới hạn là điểm khởi đầu cho một số ý tưởng cốt lõi trong giải tích. Chúng được dùng để

1. định nghĩa đạo hàm,
2. mô tả tính liên tục,
3. phân tích hành vi gần tiệm cận hoặc điểm biên, và
4. biện minh cho các phép rút gọn gần những điểm mà công thức không được xác định trực tiếp.

Nếu bạn học tiếp về đạo hàm, tích phân, hoặc dãy và chuỗi vô hạn, thì giới hạn là một phần của ngôn ngữ đứng sau tất cả các chủ đề đó.

Kiểm tra nhanh trước khi tiếp tục

Sau khi giải xong một giới hạn, hãy tự hỏi một câu: các giá trị lân cận có thật sự tiến về đáp án của bạn từ cả hai phía không?

Cách kiểm tra nhanh này giúp phát hiện nhiều sai sót, đặc biệt với hàm từng phần và biểu thức hữu tỉ.

Thử một giới hạn tương tự

Hãy thử

$$\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x - 3}$$

Dùng đúng mô hình trên: thế, nhận ra $0/0$, phân tích nhân tử, rút gọn rồi thế lại. Nếu muốn đi thêm một bước, hãy tự thử một ví dụ với hàm từng phần và kiểm tra xem giới hạn bên trái và bên phải có trùng nhau không.