Đạo hàm là gì? Công thức, cách tính và ví dụ minh họa

Đạo hàm là một khái niệm dùng để xem xét tốc độ thay đổi của một hàm số tại một điểm nhất định. Trên đồ thị, nó biểu diễn độ dốc của tiếp tuyến; trong các bài toán thực tế, nó biểu diễn tốc độ thay đổi tức thời. Bí quyết để tính toán chính xác là trước tiên hãy xác định xem biểu thức đó là lũy thừa, tích, thương hay hàm hợp, từ đó quyết định công thức cần áp dụng.

Đầu tiên, bạn chỉ cần nắm vững các trường hợp sau: Nếu có dạng $x^n$, hãy dùng công thức lũy thừa; nếu là phép cộng, hãy tính đạo hàm cho từng số hạng; nếu là phép nhân, dùng quy tắc đạo hàm tích; nếu là phân số, dùng quy tắc đạo hàm thương; và nếu có một hàm số nằm trong một hàm số khác, hãy dùng quy tắc chuỗi (chain rule). Khi phân biệt được những điều này, việc tính đạo hàm sẽ trở nên gọn gàng và dễ dàng hơn nhiều.

Nắm bắt nhanh khái niệm đạo hàm

Hệ số đạo hàm của hàm số $f(x)$ tại $x=a$, khi giới hạn tồn tại, được định nghĩa là:

$f'(a)=\lim_{h \to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$

Điều này biểu diễn việc "khi $x$ thay đổi một lượng cực nhỏ thì $f(x)$ sẽ thay đổi bao nhiêu".

Tuy nhiên, trong các bài tập thực tế, chúng ta hiếm khi tính toán trực tiếp từ định nghĩa này. Thông thường, chúng ta sử dụng các công thức đạo hàm được rút ra từ định nghĩa trên. Hàm số thu được sau khi lấy đạo hàm được gọi là đạo hàm (derivative function).

Các công thức đạo hàm cần nhớ trước tiên

Những công thức thường dùng nhất là:

$\frac{d}{dx}(c)=0$

$\frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}$

$\frac{d}{dx}\left(af(x)+bg(x)\right)=af'(x)+bg'(x)$

Trong đó $a$, $b$, $c$ là các hằng số. Với các đa thức, ba công thức này có thể giải quyết hầu hết các trường hợp.

Khi biểu thức phức tạp hơn, bạn sẽ cần đến các công thức sau:

$\frac{d}{dx}\left(f(x)g(x)\right)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$

$\frac{d}{dx}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^2}, \quad g(x) \ne 0$

$\frac{d}{dx}f(g(x))=f'(g(x))g'(x)$

Công thức cuối cùng chính là quy tắc chuỗi. Bạn sử dụng nó khi có một hàm số nằm trong một hàm số khác, ví dụ như $(2x+1)^5$ hoặc $\sin(x^2)$.

Công thức đạo hàm của các hàm số phổ biến

Sẽ rất tiện lợi nếu bạn tổng hợp lại các dạng cơ bản thường xuất hiện trong bài tập tính toán tại đây:

$\frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x$

$\frac{d}{dx}(\cos x)=-\sin x$

$\frac{d}{dx}(e^x)=e^x$

$\frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{x}, \quad x>0$

Với công thức của $\ln x$, trong phạm vi số thực, chúng ta sử dụng khi $x>0$. Điều quan trọng là không chỉ nhớ công thức mà còn phải kiểm tra cả điều kiện áp dụng.

Cách tính đạo hàm: Hãy nhìn "dạng của biểu thức" trước

Điểm mà nhiều người dễ bị khựng lại khi tính đạo hàm không phải là phép tính, mà là bước phân loại ban đầu. Hãy quan sát theo thứ tự sau để tránh nhầm lẫn:

• Nếu là đa thức như $x^5$ hay $x^3-2x+1$, hãy áp dụng công thức lũy thừa cho từng số hạng.
• Nếu có hai biểu thức nhân với nhau như $(x^2+1)(3x-4)$, hãy dùng quy tắc đạo hàm tích.
• Nếu là phân số như $\frac{x^2+1}{x-1}$, hãy dùng quy tắc đạo hàm thương.
• Nếu có dạng lồng nhau như $(2x+1)^5$ hay $\sin(x^2)$, hãy dùng quy tắc chuỗi.

Trong đạo hàm, điểm khởi đầu là đọc hình dáng bên ngoài của biểu thức. Dù nhìn có vẻ giống nhau, nhưng giữa tích và hàm hợp sẽ sử dụng các công thức khác nhau.

Nắm bắt quy trình tính đạo hàm qua ví dụ

Hãy tính đạo hàm của hàm số sau:

$f(x)=x^2(2x+1)^3$

Hình dáng bên ngoài của biểu thức này là một tích. Do đó, trước hết chúng ta sử dụng quy tắc đạo hàm tích:

$f'(x)=(x^2)'(2x+1)^3+x^2\big((2x+1)^3\big)'$

Đầu tiên, ta có:

$(x^2)'=2x$

Tiếp theo, vì $(2x+1)^3$ là một hàm hợp, chúng ta sử dụng quy tắc chuỗi:

$\big((2x+1)^3\big)'=3(2x+1)^2 \cdot 2=6(2x+1)^2$

Thay vào biểu thức, ta được:

$f'(x)=2x(2x+1)^3+6x^2(2x+1)^2$

Đến đây là đã có kết quả đúng. Nếu cần, bạn có thể đặt nhân tử chung ra ngoài để viết thành:

$f'(x)=2x(2x+1)^2(5x+1)$

Điểm quan trọng trong ví dụ này là không vội vàng khai triển biểu thức. Nếu bạn quan sát theo thứ tự: bên ngoài là tích, bên trong là hàm hợp, thì công thức cần dùng sẽ tự nhiên hiện ra.

Các lỗi thường gặp

Lấy đạo hàm từng số hạng trong khi đó là phép nhân

$f(x)g(x)$ thông thường sẽ không bằng $f'(x)g'(x)$. Quy tắc đạo hàm tích sẽ tạo ra hai số hạng.

Quên đạo hàm hàm bên trong khi dùng quy tắc chuỗi

Lỗi tính đạo hàm của $(2x+1)^3$ mà chỉ dừng lại ở $3(2x+1)^2$ là rất phổ biến. Bạn cần phải nhân thêm đạo hàm của hàm bên trong là $2$ ở bước cuối cùng.

Không kiểm tra điều kiện của quy tắc đạo hàm thương

Tại điểm mà mẫu số bằng $0$, bạn không thể áp dụng trực tiếp quy tắc đạo hàm thương. Đừng chỉ nhìn vào dạng biểu thức mà hãy kiểm tra cả điều kiện xác định.

Khai triển quá mức khiến biểu thức trở nên khó nhìn

Có những lúc khai triển trước rồi mới lấy đạo hàm sẽ dễ hơn, nhưng nếu bạn đã nhận ra dạng hàm hợp hoặc tích, việc áp dụng công thức trực tiếp thường sẽ nhanh hơn.

Đạo hàm được ứng dụng trong trường hợp nào?

Trong toán học, đạo hàm được dùng để tìm độ dốc của tiếp tuyến, xét sự tăng giảm của hàm số, cũng như tìm giá trị cực đại và cực tiểu. Trong vật lý, nó xuất hiện khi tính vận tốc, gia tốc; trong kinh tế, nó dùng để xem xét tỷ lệ thay đổi.

Nói cách khác, đạo hàm là công cụ dùng toán học để đọc xem "hiện tại mọi thứ đang thay đổi bao nhiêu". Thay vì chỉ coi đó là những phép tính, nếu bạn nhìn nhận nó dưới góc độ "tỷ lệ thay đổi", bạn sẽ hiểu sâu và nhớ lâu hơn.

Bài tập tự luyện

Tiếp theo, bạn hãy thử tự tính đạo hàm của hai hàm số sau:

$g(x)=(3x-2)^4$

và

$h(x)=\frac{x^2+1}{x-1}$

Hàm đầu tiên là bài tập về quy tắc chuỗi, và hàm thứ hai là bài tập về quy tắc đạo hàm thương.

Với đạo hàm, thay vì cố gắng học thật nhiều công thức, việc luyện tập phân biệt dạng biểu thức sẽ giúp bạn tiến bộ nhanh và vững vàng hơn. Hãy thử áp dụng cách giải của riêng bạn với các biểu thức chứa quy tắc chuỗi và đạo hàm tích nhé.