미분이란? 공식, 구하는 법, 예제 정리

미분이란, 함수가 특정 지점에서 얼마나 빠르게 변화하고 있는지를 조사하는 개념입니다. 그래프에서는 접선의 기울기를, 문장제 문제에서는 순간 변화율을 나타내죠. 계산의 핵심은 멱함수, 곱, 몫, 합성함수 중 어떤 형태인지 먼저 파악하고 그에 맞는 공식을 결정하는 것입니다.

우선 다음의 대응 관계만 파악해도 충분합니다. $x^n$ 형태라면 멱함수 공식, 덧셈이라면 항별로, 곱셈이라면 곱의 미분법, 분수 형태라면 몫의 미분법, 함수 안에 또 다른 함수가 들어있다면 연쇄 법칙(Chain Rule)을 사용합니다. 이 구분만 잘 되어도 미분 계산이 훨씬 수월해집니다.

미분이란 무엇인가 빠르게 이해하기

함수 $f(x)$의 $x=a$에서의 미분계수는 극한값이 존재할 때,

$f'(a)=\lim_{h \to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$

로 정의됩니다. 이는 "$x$를 아주 조금 움직였을 때, $f(x)$이 얼마나 변하는가"를 나타냅니다.

하지만 실제 문제에서 매번 이 정의를 이용해 계산하는 경우는 드뭅니다. 보통은 이 정의로부터 유도된 미분 공식을 사용하죠. 미분을 통해 얻어지는 함수를 도함수라고 합니다.

먼저 외워야 할 미분 공식

가장 자주 쓰이는 공식은 다음과 같습니다.

$\frac{d}{dx}(c)=0$

$\frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}$

$\frac{d}{dx}\left(af(x)+bg(x)\right)=af'(x)+bg'(x)$

여기서 $a$, $b$, $c$은 상수입니다. 다항식의 미분은 이 세 가지만으로도 대부분 해결할 수 있습니다.

식이 조금 더 복잡해지면 다음 공식들이 필요합니다.

$\frac{d}{dx}\left(f(x)g(x)\right)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$

$\frac{d}{dx}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^2}, \quad g(x) \ne 0$

$\frac{d}{dx}f(g(x))=f'(g(x))g'(x)$

마지막 식이 바로 연쇄 법칙입니다. $(2x+1)^5$이나 $\sin(x^2)$처럼 함수 안에 다른 함수가 포함되어 있을 때 사용합니다.

자주 나오는 함수의 미분 공식

계산 문제에 자주 등장하는 기본 형태들도 여기서 한 번 정리해 두면 편리합니다.

$\frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x$

$\frac{d}{dx}(\cos x)=-\sin x$

$\frac{d}{dx}(e^x)=e^x$

$\frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{x}, \quad x>0$

$\ln x$ 공식은 실수 범위에서 $x>0$일 때 사용합니다. 공식뿐만 아니라 사용할 수 있는 조건까지 함께 확인하는 것이 중요합니다.

미분 구하는 법: '식의 형태'를 먼저 보자

미분에서 막히는 부분은 계산 그 자체보다 처음 형태를 구분하는 단계인 경우가 많습니다. 다음 순서대로 살펴보면 헷갈리지 않습니다.

• $x^5$이나 $x^3-2x+1$와 같은 다항식이라면, 멱함수 공식을 항별로 적용합니다.
• $(x^2+1)(3x-4)$처럼 두 식이 곱해져 있다면, 곱의 미분법을 사용합니다.
• $\frac{x^2+1}{x-1}$와 같은 분수 형태는 몫의 미분법을 사용합니다.
• $(2x+1)^5$나 $\sin(x^2)$처럼 중첩된 형태는 연쇄 법칙을 사용합니다.

미분에서는 식의 겉모양을 먼저 읽는 것이 출발점입니다. 겉보기에는 비슷해 보여도 곱셈인지 합성함수인지에 따라 사용하는 공식이 완전히 다릅니다.

예제로 미분 흐름 파악하기

다음 함수를 미분해 보겠습니다.

$f(x)=x^2(2x+1)^3$

이 식의 겉모양은 '곱'입니다. 따라서 가장 먼저 곱의 미분법을 적용합니다.

$f'(x)=(x^2)'(2x+1)^3+x^2\big((2x+1)^3\big)'$

먼저,

$(x^2)'=2x$

입니다. 그다음 $(2x+1)^3$은 합성함수이므로 연쇄 법칙을 사용합니다.

$\big((2x+1)^3\big)'=3(2x+1)^2 \cdot 2=6(2x+1)^2$

이를 대입하면,

$f'(x)=2x(2x+1)^3+6x^2(2x+1)^2$

여기까지면 정답입니다. 필요하다면 공통인수로 묶어서

$f'(x)=2x(2x+1)^2(5x+1)$

라고 쓸 수도 있습니다.

이 예제에서 중요한 점은 무턱대고 전개하지 않았다는 것입니다. '겉은 곱, 안은 합성함수'라는 순서로 바라보면 사용할 공식이 자연스럽게 결정됩니다.

자주 하는 실수

곱셈인데 항별로 미분하는 경우

$f(x)g(x)$은 보통 $f'(x)g'(x)$가 되지 않습니다. 곱의 미분법을 쓰면 두 개의 항이 나와야 합니다.

연쇄 법칙에서 내부 미분을 빠뜨리는 경우

$(2x+1)^3$의 미분을 $3(2x+1)^2$에서 멈추는 실수가 매우 많습니다. 마지막에 내부 함수의 미분인 $2$를 반드시 곱해줘야 합니다.

몫의 미분법 조건을 확인하지 않는 경우

분모가 $0$이 되는 지점에서는 몫의 미분법을 그대로 사용할 수 없습니다. 식의 형태뿐만 아니라 조건도 함께 확인하세요.

너무 미리 전개해서 오히려 보이지 않게 되는 경우

전개 후 미분하는 것이 편할 때도 있지만, 합성함수나 곱의 형태가 명확히 보인다면 그대로 공식을 적용하는 것이 훨씬 빠른 경우가 많습니다.

미분은 어떤 상황에서 쓰일까?

수학에서는 접선의 기울기, 함수의 증가와 감소, 최댓값과 최솟값을 확인할 때 사용합니다. 물리학에서는 속도와 가속도, 경제학에서는 변화율을 분석할 때 등장합니다.

다시 말해, 미분은 "지금 이 순간 얼마나 변하고 있는가"를 수식으로 읽어내는 도구입니다. 단순한 계산으로 끝내지 말고 '변화율'이라는 의미로 접근하면 이해가 더 깊어질 것입니다.

직접 시도해 보는 미분 연습

다음 식들을 직접 미분해 보세요.

$g(x)=(3x-2)^4$

$h(x)=\frac{x^2+1}{x-1}$

전자는 연쇄 법칙, 후자는 몫의 미분법을 연습하기 좋은 문제입니다.

미분은 공식을 무작정 늘리는 것보다 식의 형태를 구분하는 연습을 반복하는 것이 훨씬 빠르게 실력을 키우는 길입니다. 이제 연쇄 법칙이나 곱의 미분법이 포함된 식을 통해 자신만의 풀이법을 시도해 보세요.