Apa itu Turunan (Differensial)? Rumus, Cara Mencari, dan Contoh Soal

Turunan adalah sebuah konsep untuk menyelidiki seberapa cepat suatu fungsi berubah pada titik tertentu. Dalam grafik, ini merepresentasikan kemiringan garis singgung, dan dalam soal cerita, ini merepresentasikan laju perubahan sesaat. Kunci dalam perhitungannya adalah mengidentifikasi terlebih dahulu apakah bentuknya berupa pangkat, perkalian, pembagian, atau fungsi komposisi, lalu menentukan rumus yang akan digunakan.

Untuk awal, cukup kuasai pemetaan berikut: jika bentuknya $x^n$, gunakan rumus pangkat; jika penjumlahan, kerjakan per suku; jika perkalian, gunakan aturan perkalian (product rule); jika pecahan, gunakan aturan pembagian (quotient rule); dan jika ada fungsi di dalam fungsi, gunakan aturan rantai (chain rule). Jika Anda bisa membedakan hal ini, perhitungan turunan akan menjadi jauh lebih teratur.

Memahami Turunan dengan Cepat

Koefisien diferensial dari fungsi $f(x)$ pada $x=a$, jika limitnya ada, didefinisikan sebagai:

$f'(a)=\lim_{h \to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$

Ini merepresentasikan "seberapa besar perubahan $f(x)$ ketika $x$ digeser sedikit saja".

Namun, dalam pengerjaan soal aktual, kita jarang menghitung menggunakan definisi ini setiap saat. Biasanya, kita menggunakan rumus turunan yang diturunkan dari definisi tersebut. Fungsi yang diperoleh dari hasil turunan disebut sebagai fungsi turunan.

Rumus Turunan yang Wajib Dihafal

Berikut adalah rumus-rumus yang paling sering digunakan di awal:

$\frac{d}{dx}(c)=0$

$\frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}$

$\frac{d}{dx}\left(af(x)+bg(x)\right)=af'(x)+bg'(x)$

Di sini, $a$, $b$, dan $c$ adalah konstanta. Untuk turunan polinomial, ketiga rumus ini sudah cukup untuk menangani sebagian besar kasus.

Jika bentuknya sedikit lebih kompleks, Anda akan membutuhkan rumus berikut:

$\frac{d}{dx}\left(f(x)g(x)\right)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$

$\frac{d}{dx}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^2}, \quad g(x) \ne 0$

$\frac{d}{dx}f(g(x))=f'(g(x))g'(x)$

Persamaan terakhir adalah aturan rantai. Ini digunakan ketika ada fungsi lain di dalam sebuah fungsi, seperti pada $(2x+1)^5$ atau $\sin(x^2)$.

Rumus Turunan Fungsi yang Sering Muncul

Akan sangat membantu jika Anda merangkum bentuk-bentuk dasar yang sering muncul dalam soal perhitungan di sini:

$\frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x$

$\frac{d}{dx}(\cos x)=-\sin x$

$\frac{d}{dx}(e^x)=e^x$

$\frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{x}, \quad x>0$

Rumus $\ln x$ digunakan ketika $x>0$ dalam rentang bilangan riil. Penting untuk tidak hanya menghafal rumusnya, tetapi juga memastikan syarat penggunaannya.

Cara Mencari Turunan: Lihat "Bentuk Persamaan" Terlebih Dahulu

Banyak orang terhambat dalam turunan bukan karena perhitungannya, melainkan karena salah mengidentifikasi bentuk awal. Agar tidak bingung, periksalah dengan urutan berikut:

• Jika berupa polinomial seperti $x^5$ atau $x^3-2x+1$, gunakan rumus pangkat pada setiap sukunya.
• Jika ada dua ekspresi yang dikalikan seperti $(x^2+1)(3x-4)$, gunakan aturan perkalian.
• Jika berbentuk pecahan seperti $\frac{x^2+1}{x-1}$, gunakan aturan pembagian.
• Jika berbentuk bersarang (nested) seperti $(2x+1)^5$ atau $\sin(x^2)$, gunakan aturan rantai.

Dalam turunan, titik awalnya adalah membaca bentuk luar dari persamaan tersebut. Meskipun terlihat mirip, rumus yang digunakan untuk perkalian dan fungsi komposisi itu berbeda.

Memahami Alur Turunan melalui Contoh Soal

Mari kita turunkan fungsi berikut:

$f(x)=x^2(2x+1)^3$

Bentuk luar dari persamaan ini adalah perkalian. Oleh karena itu, langkah pertama adalah menggunakan aturan perkalian.

$f'(x)=(x^2)'(2x+1)^3+x^2\big((2x+1)^3\big)'$

Pertama, kita tahu bahwa:

$(x^2)'=2x$

Selanjutnya, karena $(2x+1)^3$ adalah fungsi komposisi, kita gunakan aturan rantai:

$\big((2x+1)^3\big)'=3(2x+1)^2 \cdot 2=6(2x+1)^2$

Jika kita substitusikan, maka hasilnya:

$f'(x)=2x(2x+1)^3+6x^2(2x+1)^2$

Sampai di sini sudah benar. Jika perlu, Anda bisa memfaktorkan faktor persekutuan menjadi:

$f'(x)=2x(2x+1)^2(5x+1)$

Hal terpenting dari contoh ini adalah jangan terburu-buru melakukan ekspansi (penjabaran). Jika Anda melihat urutannya—luarnya adalah perkalian, dalamnya adalah fungsi komposisi—maka rumus yang digunakan akan ditentukan secara alami.

Kesalahan yang Sering Terjadi

Menurunkan per suku padahal itu perkalian

$f(x)g(x)$ biasanya tidak menjadi $f'(x)g'(x)$. Dalam aturan perkalian, akan muncul dua suku.

Melupakan turunan bagian dalam pada aturan rantai

Kesalahan umum adalah menghentikan turunan $(2x+1)^3$ hanya sampai $3(2x+1)^2$. Anda harus mengalikan dengan turunan bagian dalamnya, yaitu $2$, di bagian akhir.

Mengabaikan syarat aturan pembagian

Pada titik di mana penyebut menjadi $0$, aturan pembagian tidak dapat digunakan begitu saja. Jangan hanya melihat bentuk persamaan, tetapi periksa juga syaratnya.

Terlalu banyak ekspansi di awal sehingga bentuknya jadi tidak terlihat

Ada kalanya menjabarkan persamaan terlebih dahulu membuat perhitungan lebih mudah, tetapi jika bentuk fungsi komposisi atau perkalian sudah terlihat jelas, menggunakan rumus secara langsung sering kali lebih cepat.

Dalam Situasi Apa Turunan Digunakan?

Dalam matematika, turunan digunakan untuk mencari kemiringan garis singgung, menentukan kenaikan atau penurunan fungsi, serta mencari nilai maksimum dan minimum. Dalam fisika, turunan muncul saat membahas kecepatan dan percepatan, dan dalam ekonomi saat melihat rasio perubahan.

Sederhananya, turunan adalah alat untuk membaca "seberapa besar perubahan saat ini" melalui persamaan matematika. Jika Anda melihatnya sebagai laju perubahan dan bukan sekadar perhitungan, pemahaman Anda akan lebih kuat.

Latihan Turunan untuk Dicoba Sendiri

Selanjutnya, cobalah turunkan fungsi berikut secara mandiri:

$g(x)=(3x-2)^4$

dan

$h(x)=\frac{x^2+1}{x-1}$

Persamaan pertama adalah latihan untuk aturan rantai, dan yang kedua adalah latihan untuk aturan pembagian.

Dalam belajar turunan, daripada sekadar menambah jumlah rumus yang dihafal, akan lebih efektif jika Anda memperbanyak latihan mengidentifikasi bentuk persamaan. Cobalah metode penyelesaian Anda sendiri pada persamaan yang melibatkan aturan rantai dan aturan perkalian.