Τι είναι η διαφορικάς; Τύποι, τρόποι υπολογισμού και παραδείγματα

Η διαφορικάς είναι μια μέθοδος για να εξετάσουμε με τι ταχύτητα μεταβάλλεται μια συνάρτηση σε ένα συγκεκριμένο σημείο. Σε ένα γράφημα, αυτό αντιστοιχεί στην κλίση της εφαπτομένης, ενώ σε προβλήματα εφαρμογών εκφράζει τον στιγμιαίο ρυθμό μεταβολής. Το μυστικό στον υπολογισμό είναι να αναγνωρίσετε πρώτα αν έχετε να κάνετε με δύναμη, γινόμενο, πηλίκο ή σύνθετη συνάρτηση, ώστε να επιλέξετε τον κατάλληλο τύπο.

Αρχικά, αρκεί να θυμάστε την εξής αντιστοίχιση: αν η μορφή είναι $x^n$, χρησιμοποιούμε τον τύπο της δύναμης· αν έχουμε πρόσθεση, διαφορίζουμε κάθε όρο ξεχωριστά· αν έχουμε γινόμενο, χρησιμοποιούμε τον κανόνα του γινομένου· αν έχουμε κλάσμα, τον κανόνα του πηλίκου· και αν υπάρχει μια συνάρτηση μέσα σε μια άλλη, χρησιμοποιούμε τον κανόνα της αλυσίδας. Μόλις μάθετε να τα ξεχωρίζετε αυτά, οι υπολογισμοί της διαφορικής γίνονται πολύ πιο οργανωμένοι.

Κατανοήστε τη διαφορικάς στον πιο σύντομο χρόνο

Ο συντελεστής διαφορικής της συνάρτησης $f(x)$ στο σημείο $x=a$, όταν υπάρχει το όριο, ορίζεται ως:

$f'(a)=\lim_{h \to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$

Αυτό εκφράζει το «πόσο αλλάζει το $f(x)$ όταν μετακινήσουμε το $x$ ελάχιστα».

Ωστόσο, στην πράξη, σπάνια υπολογίζουμε τα πράγματα ξεκινώντας από αυτόν τον ορισμό σε κάθε πρόβλημα. Συνήθως χρησιμοποιούμε τους τύπους διαφορικής που προκύπτουν από αυτόν τον ορισμό. Η συνάρτηση που προκύπτει από τη διαφορίση ονομάζεται παράγωγος συνάρτηση.

Βασικοί τύποι διαφορικής που πρέπει να μάθετε

Οι πιο συνηθισμένοι τύποι που θα χρησιμοποιείτε είναι οι εξής:

$\frac{d}{dx}(c)=0$

$\frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}$

$\frac{d}{dx}\left(af(x)+bg(x)\right)=af'(x)+bg'(x)$

Εδώ τα $a$, $b$, $c$ είναι σταθερές. Με αυτούς τους τρεις τύπους, μπορείτε να καλύψετε τις περισσότερες διαφορίσεις πολυωνυμικών εκφράσεων.

Όταν η μορφή γίνεται πιο περίπλοκη, θα χρειαστείτε τους εξής τύπους:

$\frac{d}{dx}\left(f(x)g(x)\right)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$

$\frac{d}{dx}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^2}, \quad g(x) \ne 0$

$\frac{d}{dx}f(g(x))=f'(g(x))g'(x)$

Ο τελευταίος τύπος είναι ο κανόνας της αλυσίδας. Χρησιμοποιείται όταν έχουμε μια συνάρτηση μέσα σε μια άλλη, όπως στο $(2x+1)^5$ ή στο $\sin(x^2)$.

Τύποι διαφορικής για συνηθισμένες συναρτήσεις

Είναι χρήσιμο να έχετε συγκεντρωμένες τις βασικές μορφές που εμφανίζονται συχνά στις ασκήσεις:

$\frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x$

$\frac{d}{dx}(\cos x)=-\sin x$

$\frac{d}{dx}(e^x)=e^x$

$\frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{x}, \quad x>0$

Ο τύπος για το $\ln x$ χρησιμοποιείται στο πεδίο των πραγματικών αριθμών όταν $x>0$. Είναι σημαντικό να ελέγχετε όχι μόνο τον τύπο, αλλά και τις προϋποθέσεις υπό τις οποίες ισχύει.

Πώς να υπολογίσετε την παράγωγο: Κοιτάξτε πρώτα τη «μορφή της έκφρασης»

Εκεί που οι περισσότεροι κολλάνε στη διαφορικάς δεν είναι ο ίδιος ο υπολογισμός, αλλά η αρχική αναγνώριση της μορφής. Ακολουθήστε τη seguente σειρά για να μην μπερδευτείτε:

• Αν είναι πολυώνυμο, όπως το $x^5$ ή το $x^3-2x+1$, χρησιμοποιήστε τον τύπο της δύναμης για κάθε όρο.
• Αν δύο εκφράσεις πολλαπλασιάζονται, όπως στο $(x^2+1)(3x-4)$, χρησιμοποιήστε τον κανόνα του γινομένου.
• Αν είναι κλάσμα, όπως το $\frac{x^2+1}{x-1}$, χρησιμοποιήστε τον κανόνα του πηλίκου.
• Αν είναι μια «συνάρτηση μέσα σε συνάρτηση», όπως στο $(2x+1)^5$ ή στο $\sin(x^2)$, χρησιμοποιήστε τον κανόνα της αλυσίδας.

Στη διαφορικάς, το πρώτο βήμα είναι να «διαβάσετε» την εξωτερική μορφή της έκφρασης. Ακόμα και αν μοιάζουν οπτικά, ένας πολλαπλασιασμός και μια σύνθετη συνάρτηση απαιτούν διαφορετικούς τύπους.

Κατανοήστε τη διαδικασία μέσα από ένα παράδειγμα

Ας διαφορίσουμε τη συνάρτηση:

$f(x)=x^2(2x+1)^3$

Η εξωτερική μορφή αυτής της έκφρασης είναι γινόμενο. Επομένως, ξεκινάμε με τον κανόνα του γινομένου:

$f'(x)=(x^2)'(2x+1)^3+x^2\big((2x+1)^3\big)'$

Πρώτα, έχουμε:

$(x^2)'=2x$

Στη συνέχεια, επειδή το $(2x+1)^3$ είναι σύνθετη συνάρτηση, χρησιμοποιούμε τον κανόνα της αλυσίδας:

$\big((2x+1)^3\big)'=3(2x+1)^2 \cdot 2=6(2x+1)^2$

Αντικαθιστώντας τα, έχουμε:

$f'(x)=2x(2x+1)^3+6x^2(2x+1)^2$

Έφτασαμε στη σωστή απάντηση. Αν είναι απαραίτητο, μπορούμε να βγάλουμε κοινό παράγοντα και να γράψουμε:

$f'(x)=2x(2x+1)^2(5x+1)$

Το σημαντικό σε αυτό το παράδειγμα είναι ότι δεν κάναμε ανάπτυξη της έκφρασης αμέσως. Αν δούμε τη σειρά —έξω γινόμενο, μέσα σύνθετη συνάρτηση— ο τύπος που πρέπει να χρησιμοποιηθεί καθορίζεται φυσικά.

Συνηθισμένα λάθη

Διαφορίσεις όρους ξεχωριστά σε γινόμενο

Η έκφραση $f(x)g(x)$ δεν γίνεται συνήθως $f'(x)g'(x)$. Στον κανόνα του γινομένου προκύπτουν δύο όροι.

Παράλειψη της εσωτερικής παράγωγου στον κανόνα της αλυσίδας

Πολύ συχνό λάθος είναι να σταματήσει η διαφορίση του $(2x+1)^3$ στο $3(2x+1)^2$. Πρέπει οπωσδήποτε να πολλαπλασιάσουμε στο τέλος με την εσωτερική παράγωγο $2$.

Αγνόηση των προϋποθέσεων στον κανόνα του πηλίκου

Στα σημεία όπου ο παρονομαστής είναι $0$, ο κανόνας του πηλίκου δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί απευθείας. Ελέγξτε πάντα τις προϋποθέσεις, όχι μόνο τη μορφή της έκφρασης.

Υπερβολική ανάπτυξη της έκφρασης

Υπάρχουν περιπτώσεις όπου η ανάπτυξη πριν τη διαφορίση είναι πιο εύκολη, αλλά αν αναγνωρίζετε τη μορφή της σύνθετης συνάρτησης ή του γινομένου, η εφαρμογή του κατάλληλου τύπου είναι συνήθως πιο γρήγορη.

Πού χρησιμοποιείται η διαφορικάς;

Στα μαθηματικά, τη χρησιμοποιούμε για να βρούμε την κλίση της εφαπτομένης, τη φθίντα και την αύξηση μιας συνάρτησης, καθώς και τα and ακρότατα (μέγιστα και ελάχιστα). Στη Φυσική εμφανίζεται στην ταχύτητα και την επιτάχυνση, και στην Οικονομία όταν εξετάζουμε τον ρυθμό μεταβολής.

Με άλλα λόγια, η διαφορικάς είναι ένα εργαλείο για να διαβάσουμε μαθηματικά το «πόσο αλλάζει κάτι αυτή τη στιγμή». Αν το δούμε ως ρυθμό μεταβολής και όχι απλώς ως υπολογισμό, η κατανόηση γίνεται πολύ πιο βαθιά.

Ασκήσεις για να δοκιμάσετε μόνοι σας

Δοκιμάστε να διαφορίσετε τις εξής εκφράσεις:

$g(x)=(3x-2)^4$

και

$h(x)=\frac{x^2+1}{x-1}$

Η πρώτη είναι εξάσκηση στον κανόνα της αλυσίδας και η δεύτερη στον κανόνα του πηλίκου.

Στη διαφορικάς, αντί να προσπαθείτε απλώς να απομνημονεύσετε περισσότερους τύπους, θα προkopείτε ταχύτερα αν εξασκηθείτε στην αναγνώριση της μορφής της έκφρασης. Δοκιμάστε τώρα να λύσετε εκφράσεις που περιλαμβάνουν τον κανόνα της αλυσίδας και του γινομένου με τον δικό σας τρόπο.