Kutu ve Bıyık Grafiği

Bir kutu ve bıyık grafiği, bir veri kümesinin merkezini, yayılımını ve olası çarpıklığını tek bakışta gösterir. Bu grafik beş sayı özetine dayanır: minimum, birinci çeyrek $Q_1$, medyan, üçüncü çeyrek $Q_3$ ve maksimum. Sınıfınızda veya kullandığınız yazılımda $1.5 \times IQR$ kuralı kullanılıyorsa, bıyıklar mutlak minimum ve maksimum yerine aykırı olmayan en uç değerlere kadar uzanabilir.

Kutu, $Q_1$ ile $Q_3$ arasında yer alır; yani verilerin ortadaki $50\%$’sini içerir. Kutunun içindeki çizgi medyandır. Bıyıklar ise verinin bu orta yarının ötesinde ne kadar uzandığını gösterir.

Kutu ve bıyık grafiği ne gösterir?

Bir kutu grafiği, üç hızlı soruya cevap vermenize yardımcı olur:

• Orta nokta nerede? Medyana bakın.
• Ortadaki yarı ne kadar yayılmış? Kutunun genişliğine bakın.
• Kuyruklar dengeli mi? İki bıyığı karşılaştırın.

Kutunun genişliği çeyrekler arası açıklıktır; yani $IQR = Q_3 - Q_1$. Daha büyük bir $IQR$, verilerin ortadaki yarısının daha yayılmış olduğu anlamına gelir. Bir bıyık diğerinden çok daha uzunsa, veri o yönde çarpık olabilir.

Birçok kutu grafiği, olası aykırı değerleri göstermek için $1.5 \times IQR$ kuralını da kullanır. Bu durumda bıyıklar, aykırı olmayan en uç değerlere kadar uzanır. Bu yüzden aynı veri için çizilmiş iki doğru kutu grafiği, farklı bıyık kuralları kullanıyorsa biraz farklı görünebilir.

Veriden kutu grafiğine çözümlü örnek

Sıralı veri kümesini kullanın:

$$3,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9,\ 12,\ 15$$

Toplam $8$ değer vardır, bu yüzden medyan ortadaki iki değerin ortalamasıdır:

$$\text{median} = \frac{7 + 8}{2} = 7.5$$

Veri sayısı çift olduğu için listeyi iki eşit yarıya ayırın. Alt yarı $3, 5, 6, 7$ olduğundan

$$Q_1 = \frac{5 + 6}{2} = 5.5$$

Üst yarı $8, 9, 12, 15$ olduğundan

$$Q_3 = \frac{9 + 12}{2} = 10.5$$

Böylece beş sayı özeti şu olur:

$$\text{min} = 3,\quad Q_1 = 5.5,\quad \text{median} = 7.5,\quad Q_3 = 10.5,\quad \text{max} = 15$$

Şimdi çeyrekler arası açıklığı hesaplayın:

$$IQR = Q_3 - Q_1 = 10.5 - 5.5 = 5$$

Yaygın kullanılan $1.5 \times IQR$ aykırı değer kuralını uygularsanız, sınırlar şunlardır:

$$Q_1 - 1.5(IQR) = 5.5 - 7.5 = -2$$

ve

$$Q_3 + 1.5(IQR) = 10.5 + 7.5 = 18$$

Tüm veri değerleri $-2$ ile $18$ arasında kaldığı için, bu kurala göre olası aykırı değer yoktur. Bu veri kümesi için kutu $5.5$ ile $10.5$ arasında olur, medyan çizgisi $7.5$’te yer alır ve bıyıklar $3$ ile $15$’e kadar uzanır.

Bir kutu grafiği hızlıca nasıl okunur?

Önce medyan çizgisine bakın. Bu, verinin merkezinin nerede olduğunu gösterir.

Sonra kutunun genişliğini ve bıyıkların uzunluklarını karşılaştırın. Kutu, değerlerin ortadaki $50\%$’sinin nerede bulunduğunu gösterirken, bıyıklar kuyrukların bu bölgenin ötesine ne kadar uzandığını gösterir.

Son olarak asimetri olup olmadığına bakın. Medyan kutunun içinde ortalanmamışsa ya da bir bıyık diğerinden çok daha uzunsa, dağılım orta nokta etrafında dengeli olmayabilir.

Kutu ve bıyık grafikleriyle ilgili yaygın hatalar

Yaygın hatalardan biri, kutunun kenarlarını minimum ve maksimum olarak okumaktır. Bunlar genellikle tüm veri kümesinin uç noktaları değil, $Q_1$ ve $Q_3$ değerleridir.

Bir başka hata da her kutu grafiğinin aynı bıyık kuralını kullandığını varsaymaktır. Bazı grafiklerde bıyıklar minimum ve maksimuma kadar uzanır. Bazılarında ise aykırı olmayan en uç değerlerde durur.

Ayrıca çeyreklerin sıralanmış verilere bağlı olduğunu unutmak da kolaydır. Değerler önce sıralanmazsa, çeyrekler ve medyan yanlış olur.

Kutu grafikleri ne zaman kullanışlıdır?

Kutu ve bıyık grafikleri, tüm değerlerin tam listesini görmek yerine bir dağılımın hızlı bir özetini istediğinizde kullanışlıdır. İstatistik derslerinde, deney özetlerinde, kalite kontrolde ve gruplar arası karşılaştırmalarda sıkça kullanılır.

Özellikle aykırı değerler veya çarpıklık önemliyse çok faydalıdır; çünkü medyan ve çeyrekler, tek başına ortalamaya göre genellikle daha kararlıdır.

Benzer bir veri kümesi deneyin

Kısa ve sıralı bir veri kümesi alın, beş sayı özetini yazın ve aykırı değerlere geçmeden önce kutuyu çizin. Benzer bir istatistik sorusunda çeyreklerinizi ve medyanınızı kontrol etmek isterseniz, önce sıralı listeyi kendiniz kurup sonra bir çözücüde kendi örneğinizi deneyin.