Boxplot: Box-Whisker-Diagramm

Ein Boxplot zeigt auf einen Blick die Lage, Streuung und mögliche Schiefe eines Datensatzes. Er basiert auf der Fünf-Punkte-Zusammenfassung: Minimum, erstes Quartil $Q_1$, Median, drittes Quartil $Q_3$ und Maximum. Wenn in deinem Unterricht oder in deiner Software die Regel $1.5 \times IQR$ verwendet wird, enden die Whisker möglicherweise bei den äußersten Werten, die keine Ausreißer sind, statt beim absoluten Minimum und Maximum.

Die Box reicht von $Q_1$ bis $Q_3$ und enthält damit die mittleren $50\%$ der Daten. Die Linie in der Box ist der Median. Die Whisker zeigen, wie weit sich die Daten über diese mittlere Hälfte hinaus erstrecken.

Was ein Box-Whisker-Diagramm zeigt

Ein Boxplot hilft dir, drei schnelle Fragen zu beantworten:

• Wo liegt die Mitte? Schau auf den Median.
• Wie stark ist die mittlere Hälfte gestreut? Schau auf die Breite der Box.
• Sind die Enden ausgeglichen? Vergleiche die beiden Whisker.

Die Breite der Box ist der Interquartilsabstand, also $IQR = Q_3 - Q_1$. Ein größerer $IQR$ bedeutet, dass die mittlere Hälfte der Daten stärker gestreut ist. Wenn ein Whisker deutlich länger ist als der andere, können die Daten in diese Richtung schief verteilt sein.

Viele Boxplots verwenden auch die Regel $1.5 \times IQR$, um mögliche Ausreißer zu markieren. In dieser Version enden die Whisker bei den äußersten Werten, die keine Ausreißer sind. Deshalb können zwei korrekte Boxplots für dieselben Daten leicht unterschiedlich aussehen, wenn sie verschiedene Whisker-Regeln verwenden.

Durchgerechnetes Beispiel vom Datensatz zum Boxplot

Verwende den geordneten Datensatz

$$3,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9,\ 12,\ 15$$

Es gibt $8$ Werte, also ist der Median der Mittelwert der beiden mittleren Werte:

$$\text{median} = \frac{7 + 8}{2} = 7.5$$

Da es eine gerade Anzahl von Datenpunkten gibt, teilst du die Liste in zwei gleich große Hälften. Die untere Hälfte ist $3, 5, 6, 7$, also gilt

$$Q_1 = \frac{5 + 6}{2} = 5.5$$

Die obere Hälfte ist $8, 9, 12, 15$, also gilt

$$Q_3 = \frac{9 + 12}{2} = 10.5$$

Damit erhältst du die Fünf-Punkte-Zusammenfassung:

$$\text{min} = 3,\quad Q_1 = 5.5,\quad \text{median} = 7.5,\quad Q_3 = 10.5,\quad \text{max} = 15$$

Berechne nun den Interquartilsabstand:

$$IQR = Q_3 - Q_1 = 10.5 - 5.5 = 5$$

Wenn du die übliche Ausreißerregel $1.5 \times IQR$ verwendest, sind die Grenzen

$$Q_1 - 1.5(IQR) = 5.5 - 7.5 = -2$$

und

$$Q_3 + 1.5(IQR) = 10.5 + 7.5 = 18$$

Alle Datenwerte liegen zwischen $-2$ und $18$, also gibt es nach dieser Regel keine möglichen Ausreißer. Für diesen Datensatz würde die Box von $5.5$ bis $10.5$ reichen, die Medianlinie läge bei $7.5$, und die Whisker würden bis $3$ und $15$ reichen.

Wie man einen Boxplot schnell liest

Beginne mit der Medianlinie. Sie zeigt dir, wo das Zentrum der Daten liegt.

Vergleiche dann die Breite der Box und die Längen der Whisker. Die Box zeigt, wo die mittleren $50\%$ der Werte liegen, während die Whisker zeigen, wie weit sich die Enden über diesen Bereich hinaus erstrecken.

Achte zum Schluss auf Asymmetrie. Wenn der Median innerhalb der Box nicht mittig liegt oder ein Whisker deutlich länger ist als der andere, ist die Verteilung um die Mitte möglicherweise nicht ausgeglichen.

Häufige Fehler bei Box-Whisker-Diagrammen

Ein häufiger Fehler ist, die Ränder der Box als Minimum und Maximum zu lesen. Sie stehen normalerweise für $Q_1$ und $Q_3$, nicht für die Endpunkte des gesamten Datensatzes.

Ein weiterer Fehler ist die Annahme, dass jeder Boxplot dieselbe Whisker-Regel verwendet. Manche Whisker reichen bis zum Minimum und Maximum. Andere enden bei den äußersten Werten, die keine Ausreißer sind.

Man vergisst auch leicht, dass Quartile von geordneten Daten abhängen. Wenn die Werte nicht zuerst sortiert werden, sind Quartile und Median falsch.

Wann Boxplots nützlich sind

Box-Whisker-Diagramme sind nützlich, wenn du eine schnelle Zusammenfassung einer Verteilung statt einer vollständigen Werteliste möchtest. Sie sind in Statistikunterricht, Versuchsübersichten, Qualitätskontrolle und beim Vergleich von Gruppen üblich.

Sie sind besonders hilfreich, wenn Ausreißer oder Schiefe wichtig sind, weil Median und Quartile meist stabiler sind als der Mittelwert allein.

Probiere einen ähnlichen Datensatz aus

Nimm einen kurzen sortierten Datensatz, notiere seine Fünf-Punkte-Zusammenfassung und skizziere die Box, bevor du dich um Ausreißer kümmerst. Wenn du deine Quartile und deinen Median bei einer ähnlichen Statistikaufgabe überprüfen möchtest, probiere deine eigene Version in einem Solver aus, nachdem du die geordnete Liste selbst aufgestellt hast.