แผนภาพกล่องและหนวด

แผนภาพกล่องและหนวดใช้แสดงค่ากลาง การกระจาย และความเบ้ที่อาจเกิดขึ้นของชุดข้อมูลได้ในภาพเดียว โดยสร้างจากค่าสรุปห้าจำนวน ได้แก่ ค่าน้อยสุด ควอไทล์ที่หนึ่ง $Q_1$ มัธยฐาน ควอไทล์ที่สาม $Q_3$ และค่ามากสุด หากในชั้นเรียนหรือซอฟต์แวร์ของคุณใช้กฎ $1.5 \times IQR$ หนวดอาจหยุดที่ค่าที่ไกลที่สุดซึ่งยังไม่เป็นค่านอกกลุ่ม แทนที่จะไปถึงค่าน้อยสุดและค่ามากสุดจริง

กล่องจะพาดจาก $Q_1$ ถึง $Q_3$ ดังนั้นจึงครอบคลุมข้อมูลตรงกลาง $50\%$ เส้นภายในกล่องคือมัธยฐาน ส่วนหนวดแสดงว่าข้อมูลยื่นออกไปไกลแค่ไหนนอกครึ่งกลางนั้น

แผนภาพกล่องและหนวดแสดงอะไร

แผนภาพกล่องช่วยให้คุณตอบคำถามสั้น ๆ ได้ 3 ข้อ:

• ค่ากลางอยู่ที่ไหน? ดูที่มัธยฐาน
• ข้อมูลครึ่งกลางกระจายมากแค่ไหน? ดูความกว้างของกล่อง
• หางทั้งสองด้านสมดุลกันหรือไม่? เปรียบเทียบหนวดทั้งสองข้าง

ความกว้างของกล่องคือพิสัยระหว่างควอไทล์ หรือ $IQR = Q_3 - Q_1$ ค่า $IQR$ ที่มากขึ้นหมายความว่าข้อมูลครึ่งกลางกระจายตัวมากขึ้น หากหนวดข้างหนึ่งยาวกว่าอีกข้างมาก ข้อมูลอาจเบ้ไปทางด้านนั้น

แผนภาพกล่องจำนวนมากยังใช้กฎ $1.5 \times IQR$ เพื่อระบุค่านอกกลุ่มที่เป็นไปได้ ในกรณีนั้น หนวดจะหยุดที่ค่าที่ไกลที่สุดซึ่งยังไม่เป็นค่านอกกลุ่ม นี่จึงเป็นเหตุผลว่าทำไมแผนภาพกล่องที่ถูกต้องสองรูปของข้อมูลชุดเดียวกันอาจดูต่างกันเล็กน้อย หากใช้กฎการลากหนวดต่างกัน

ตัวอย่างคำนวณจากข้อมูลไปเป็นแผนภาพกล่อง

ใช้ชุดข้อมูลที่เรียงลำดับแล้ว

$$3,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9,\ 12,\ 15$$

มีข้อมูล $8$ ค่า ดังนั้นมัธยฐานคือค่าเฉลี่ยของข้อมูลตรงกลางสองค่า:

$$\text{median} = \frac{7 + 8}{2} = 7.5$$

เนื่องจากมีจำนวนข้อมูลเป็นเลขคู่ ให้แบ่งรายการออกเป็นสองครึ่งเท่า ๆ กัน ครึ่งล่างคือ $3, 5, 6, 7$ ดังนั้น

$$Q_1 = \frac{5 + 6}{2} = 5.5$$

ครึ่งบนคือ $8, 9, 12, 15$ ดังนั้น

$$Q_3 = \frac{9 + 12}{2} = 10.5$$

จึงได้ค่าสรุปห้าจำนวนเป็น

$$\text{min} = 3,\quad Q_1 = 5.5,\quad \text{median} = 7.5,\quad Q_3 = 10.5,\quad \text{max} = 15$$

ต่อไปคำนวณพิสัยระหว่างควอไทล์:

$$IQR = Q_3 - Q_1 = 10.5 - 5.5 = 5$$

ถ้าใช้กฎค่านอกกลุ่มแบบทั่วไป $1.5 \times IQR$ ขอบเขตจะเป็น

$$Q_1 - 1.5(IQR) = 5.5 - 7.5 = -2$$

และ

$$Q_3 + 1.5(IQR) = 10.5 + 7.5 = 18$$

ค่าข้อมูลทั้งหมดอยู่ระหว่าง $-2$ และ $18$ ดังนั้นจึงไม่มีค่านอกกลุ่มที่เป็นไปได้ภายใต้กฎนี้ สำหรับข้อมูลชุดนี้ กล่องจะพาดจาก $5.5$ ถึง $10.5$ เส้นมัธยฐานจะอยู่ที่ $7.5$ และหนวดจะยื่นไปถึง $3$ และ $15$

วิธีอ่านแผนภาพกล่องอย่างรวดเร็ว

เริ่มจากเส้นมัธยฐานก่อน เส้นนี้บอกว่าศูนย์กลางของข้อมูลอยู่ตรงไหน

จากนั้นเปรียบเทียบความกว้างของกล่องและความยาวของหนวด กล่องแสดงตำแหน่งของข้อมูลตรงกลาง $50\%$ ส่วนหนวดแสดงว่าหางของข้อมูลยื่นออกไปไกลแค่ไหนนอกบริเวณนั้น

สุดท้าย ให้มองหาความไม่สมมาตร หากมัธยฐานไม่ได้อยู่กึ่งกลางภายในกล่อง หรือหนวดข้างหนึ่งยาวกว่าอีกข้างมาก การแจกแจงอาจไม่สมดุลรอบค่ากลาง

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยเกี่ยวกับแผนภาพกล่องและหนวด

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยอย่างหนึ่งคืออ่านขอบของกล่องว่าเป็นค่าน้อยสุดและค่ามากสุด ทั้งที่โดยทั่วไปขอบเหล่านั้นแทน $Q_1$ และ $Q_3$ ไม่ใช่ปลายสุดของข้อมูลทั้งหมด

อีกข้อผิดพลาดหนึ่งคือคิดว่าแผนภาพกล่องทุกแบบใช้กฎหนวดเหมือนกัน บางแบบลากหนวดไปถึงค่าน้อยสุดและค่ามากสุด แต่อีกบางแบบหยุดที่ค่าที่ไกลที่สุดซึ่งยังไม่เป็นค่านอกกลุ่ม

นอกจากนี้ยังลืมได้ง่ายว่าควอไทล์ขึ้นอยู่กับข้อมูลที่เรียงลำดับแล้ว หากยังไม่ได้เรียงค่าก่อน ควอไทล์และมัธยฐานจะผิด

แผนภาพกล่องมีประโยชน์เมื่อใด

แผนภาพกล่องและหนวดมีประโยชน์เมื่อคุณต้องการสรุปการแจกแจงอย่างรวดเร็ว แทนที่จะดูรายการค่าทั้งหมด มักใช้ในวิชาสถิติ การสรุปผลการทดลอง การควบคุมคุณภาพ และการเปรียบเทียบระหว่างกลุ่ม

แผนภาพนี้มีประโยชน์เป็นพิเศษเมื่อค่านอกกลุ่มหรือความเบ้มีความสำคัญ เพราะมัธยฐานและควอไทล์มักมีความเสถียรมากกว่าค่าเฉลี่ยเพียงอย่างเดียว

ลองทำกับชุดข้อมูลที่คล้ายกัน

เลือกชุดข้อมูลสั้น ๆ ที่เรียงลำดับแล้ว เขียนค่าสรุปห้าจำนวน และร่างกล่องก่อนที่จะกังวลเรื่องค่านอกกลุ่ม หากคุณต้องการตรวจสอบควอไทล์และมัธยฐานของโจทย์สถิติที่คล้ายกัน ลองทำเวอร์ชันของคุณเองในตัวแก้โจทย์หลังจากจัดเรียงข้อมูลด้วยตัวเองก่อน