箱线图

箱线图可以让你一眼看出一组数据的中心位置、离散程度以及可能的偏态。它基于五数概括构成：最小值、第一四分位数 $Q_1$、中位数、第三四分位数 $Q_3$ 和最大值。如果你的课堂或软件使用 $1.5 \times IQR$ 规则，那么“须”可能会停在最极端的非离群值处，而不是绝对最小值和最大值。

箱体从 $Q_1$ 延伸到 $Q_3$，因此包含中间 $50\%$ 的数据。箱体内部的线表示中位数。两侧的“须”表示数据在这中间一半之外延伸了多远。

箱线图展示了什么

箱线图可以帮助你快速回答三个问题：

• 中间位置在哪里？看中位数。
• 中间一半数据有多分散？看箱体的宽度。
• 两端是否平衡？比较两条“须”。

箱体的宽度就是四分位距，即 $IQR = Q_3 - Q_1$。$IQR$ 越大，说明中间一半的数据越分散。如果一侧的“须”明显比另一侧长，数据可能就向那个方向偏斜。

很多箱线图还会使用 $1.5 \times IQR$ 规则来标记可能的离群值。在这种画法中，“须”会停在最极端的非离群值处。这就是为什么同一组数据的两个正确箱线图，如果采用不同的“须”规则，外观可能会略有不同。

从数据到箱线图的示例

使用下面这组按顺序排列的数据：

$$3,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9,\ 12,\ 15$$

共有 $8$ 个数，因此中位数是中间两个数的平均值：

$$\text{median} = \frac{7 + 8}{2} = 7.5$$

因为数据点个数是偶数，所以把这组数据分成两个相等的部分。下半部分是 $3, 5, 6, 7$，所以

$$Q_1 = \frac{5 + 6}{2} = 5.5$$

上半部分是 $8, 9, 12, 15$，所以

$$Q_3 = \frac{9 + 12}{2} = 10.5$$

这样就得到五数概括：

$$\text{min} = 3,\quad Q_1 = 5.5,\quad \text{median} = 7.5,\quad Q_3 = 10.5,\quad \text{max} = 15$$

现在计算四分位距：

$$IQR = Q_3 - Q_1 = 10.5 - 5.5 = 5$$

如果使用常见的 $1.5 \times IQR$ 离群值规则，那么上下界为

$$Q_1 - 1.5(IQR) = 5.5 - 7.5 = -2$$

以及

$$Q_3 + 1.5(IQR) = 10.5 + 7.5 = 18$$

所有数据值都落在 $-2$ 到 $18$ 之间，所以按照这个规则没有可能的离群值。对于这组数据，箱体会从 $5.5$ 延伸到 $10.5$，中位数线在 $7.5$，两条“须”分别到达 $3$ 和 $15$。

如何快速读懂箱线图

先看中位数线。它告诉你数据中心大致位于哪里。

然后比较箱体的宽度和两条“须”的长度。箱体表示中间 $50\%$ 的数值所在范围，而“须”表示两端在这个区域之外延伸了多远。

最后观察是否存在不对称。如果中位数在线箱体内部偏向一侧，或者一条“须”明显比另一条长，那么这个分布在中间附近可能并不平衡。

箱线图中的常见错误

一个常见错误是把箱体两端读成最小值和最大值。它们通常表示的是 $Q_1$ 和 $Q_3$，而不是整组数据的两个端点。

另一个错误是认为所有箱线图都使用相同的“须”规则。有些图中的“须”延伸到最小值和最大值，另一些则停在最极端的非离群值处。

还很容易忽略一点：四分位数依赖于有序数据。如果没有先排序，那么四分位数和中位数都会出错。

什么时候箱线图有用

当你想快速概括一个分布，而不是查看完整的数据列表时，箱线图就非常有用。它常见于统计课、实验结果总结、质量控制以及组间比较。

当离群值或偏态很重要时，它尤其有帮助，因为中位数和四分位数通常比单独使用平均数更稳定。

试试一组类似的数据

找一组较短且已经排好序的数据，先写出它的五数概括，再画出箱体，不必一开始就纠结离群值。如果你想在类似的统计题中检查自己的四分位数和中位数，可以先自己列好有序数据，再用求解工具验证。