Wzór kwadratowy

Wzór kwadratowy służy do rozwiązywania równania kwadratowego w postaci standardowej:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

Używa się go dla równań postaci $ax^2 + bx + c = 0$ przy $a \ne 0$. Jeśli trójmian da się szybko rozłożyć na czynniki, ta metoda bywa szybsza. Jeśli nie, wzór kwadratowy jest niezawodną metodą, która nadal działa.

Co mówi wzór kwadratowy

Wzór daje wartość lub wartości $x$, dla których trójmian kwadratowy jest równy zeru. W równaniu $ax^2 + bx + c = 0$ liczby $a$, $b$ i $c$ to współczynniki, które podstawiasz do wzoru.

Część pod pierwiastkiem,

$$b^2 - 4ac$$

nazywa się wyróżnikiem. Pomaga przewidzieć rodzaj odpowiedzi jeszcze przed zakończeniem obliczeń:

1. Jeśli $b^2 - 4ac > 0$, są dwa różne rozwiązania rzeczywiste.
2. Jeśli $b^2 - 4ac = 0$, jest jedno podwójne rozwiązanie rzeczywiste.
3. Jeśli $b^2 - 4ac < 0$, nie ma rozwiązań rzeczywistych. W takim przypadku rozwiązania są zespolone.

To szybkie sprawdzenie jest przydatne, ponieważ mówi, czego można się spodziewać po wzorze.

Dlaczego to działa

Równanie kwadratowe może mieć maksymalnie dwie wartości $x$, w których jego wykres przecina oś $x$. Wzór kwadratowy jest ogólnym wynikiem metody uzupełniania do kwadratu, więc daje te miejsca zerowe bezpośrednio, bez zgadywania rozkładu na czynniki.

Nie musisz wyprowadzać go od nowa za każdym razem. W praktyce najważniejsze jest poprawne wskazanie $a$, $b$ i $c$ oraz pilnowanie znaków.

Przykład: rozwiąż $2x^2 + 3x - 2 = 0$

Najpierw wyznacz współczynniki:

$$a = 2, \quad b = 3, \quad c = -2$$

Teraz podstaw:

$$x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4(2)(-2)}}{2(2)}$$

Najpierw oblicz wyrażenie pod pierwiastkiem:

$$3^2 - 4(2)(-2) = 9 + 16 = 25$$

Zatem wzór przyjmuje postać

$$x = \frac{-3 \pm \sqrt{25}}{4} = \frac{-3 \pm 5}{4}$$

Teraz oblicz oba przypadki:

$$x = \frac{-3 + 5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$ $$x = \frac{-3 - 5}{4} = \frac{-8}{4} = -2$$

Zatem rozwiązaniami są

$$x = \frac{1}{2} \quad \text{oraz} \quad x = -2$$

Możesz sprawdzić jedno z rozwiązań przez podstawienie. Gdy $x = \frac{1}{2}$,

$$2\left(\frac{1}{2}\right)^2 + 3\left(\frac{1}{2}\right) - 2 = \frac{1}{2} + \frac{3}{2} - 2 = 0$$

To potwierdza, że wartość jest poprawna.

Typowe błędy przy stosowaniu wzoru kwadratowego

1. Brak wcześniejszego przekształcenia równania do postaci $ax^2 + bx + c = 0$. Jeśli prawa strona nie jest równa zeru, współczynniki nie są gotowe do podstawienia do wzoru.
2. Zgubienie znaku przy $b$ lub $c$. Jeśli $b = -7$, to $-b = 7$, a nie $-7$.
3. Zapominanie, że mianownikiem jest całe $2a$. Cały licznik $-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}$ znajduje się nad $2a$.
4. Obliczenie tylko jednego przypadku. Znak $\pm$ oznacza, że trzeba sprawdzić zarówno wersję z plusem, jak i z minusem.
5. Błędy rachunkowe w wyróżniku. Małe pomyłki znaków w tym miejscu zmieniają całą odpowiedź.

Kiedy używać wzoru kwadratowego

Wzór kwadratowy jest najbardziej przydatny, gdy:

1. Trójmian kwadratowy nie rozkłada się łatwo na czynniki.
2. Chcesz użyć metody, która zawsze działa dla równań kwadratowych w postaci standardowej.
3. Chcesz wiedzieć, ilu rozwiązań rzeczywistych należy się spodziewać na podstawie wyróżnika.
4. Porównujesz metody takie jak rozkład na czynniki, uzupełnianie do kwadratu i odczyt z wykresu.

Spróbuj podobnego zadania

Rozwiąż $x^2 - 6x + 5 = 0$, wykonując te same kroki: wyznacz $a$, $b$ i $c$, oblicz wyróżnik i rozpatrz oba przypadki. Jeśli chcesz uzyskać przydatne porównanie, rozłóż potem trójmian na czynniki i sprawdź, czy obie metody dają te same pierwiastki.