Quantidade de movimento — fórmula, conservação e impulso

A quantidade de movimento indica quão difícil é parar ou redirecionar o movimento de um objeto. Na física introdutória, a quantidade de movimento linear é

$$\vec{p} = m\vec{v}$$

Isso significa que a quantidade de movimento depende da massa, da rapidez e da direção. Como a velocidade é um vetor, a quantidade de movimento também é um vetor.

Se você lembrar de apenas uma ideia, lembre-se desta: mais massa ou mais velocidade significam mais quantidade de movimento, e mudar a quantidade de movimento exige um impulso.

O que $p = mv$ significa

Para um único objeto de massa constante movendo-se bem abaixo de velocidades relativísticas, o módulo da quantidade de movimento é

$$p = mv$$

A unidade no SI é $kg \cdot m/s$.

Essa é a fórmula padrão para problemas de mecânica do dia a dia. Se as velocidades forem comparáveis à velocidade da luz, essa forma clássica deixa de ser suficiente.

Por que a direção importa em problemas de quantidade de movimento

Quantidade de movimento não é apenas "massa vezes rapidez". É massa vezes velocidade, então a direção continua incluída.

Isso significa que dois objetos podem ter o mesmo módulo de quantidade de movimento, mas vetores de quantidade de movimento opostos. Por exemplo, $3\ kg \cdot m/s$ para leste e $3\ kg \cdot m/s$ para oeste não se somam no total de um sistema. Eles se cancelam.

É por isso que a quantidade de movimento é especialmente útil em problemas de colisões e recuo.

Quando a quantidade de movimento se conserva

A quantidade de movimento se conserva em um sistema quando o impulso externo resultante sobre esse sistema é zero ou desprezível no intervalo de tempo considerado. Em muitos problemas de colisão de livros didáticos, isso é modelado como um sistema isolado.

Nessa condição,

$$\vec{p}_{\text{initial}} = \vec{p}_{\text{final}}$$

Essa é uma afirmação sobre o sistema, não uma afirmação de que cada objeto mantém sua própria quantidade de movimento inalterada. Durante uma colisão, um objeto pode perder quantidade de movimento enquanto outro ganha. O que permanece constante é a quantidade de movimento total do sistema.

Como o impulso altera a quantidade de movimento

Impulso é a grandeza que altera a quantidade de movimento. Em geral,

$$\vec{J} = \Delta \vec{p}$$

e, para uma força resultante constante durante um intervalo de tempo $\Delta t$,

$$\vec{J} = \vec{F}_{\text{net}} \Delta t$$

Combinando essas expressões, obtemos a relação comum entre impulso e quantidade de movimento:

$$\vec{F}_{\text{net}} \Delta t = \Delta \vec{p}$$

Se o impulso externo resultante sobre um sistema for aproximadamente zero, então a quantidade de movimento total do sistema permanece constante. É por isso que colisões curtas muitas vezes são resolvidas com conservação da quantidade de movimento, mesmo quando as forças durante o impacto são complicadas.

Exemplo resolvido: dois carrinhos ficam unidos

Um carrinho de $2.0\ \mathrm{kg}$ movendo-se a $3.0\ \mathrm{m/s}$ para a direita colide com um carrinho de $1.0\ \mathrm{kg}$ em repouso sobre um trilho de baixo atrito. Eles ficam unidos após a colisão. Encontre a velocidade final.

Como o trilho tem baixo atrito, modelamos o impulso externo durante a colisão curta como desprezível. Isso nos permite usar a conservação da quantidade de movimento para o sistema dos dois carrinhos.

Quantidade de movimento inicial:

$$p_{\text{initial}} = (2.0)(3.0) + (1.0)(0) = 6.0\ \mathrm{kg \cdot m/s}$$

Após a colisão, os carrinhos se movem juntos, então a massa combinada é

$$2.0 + 1.0 = 3.0\ \mathrm{kg}$$

Seja $v_f$ a velocidade final. Então

$$p_{\text{final}} = (3.0)v_f$$

Igualando a quantidade de movimento inicial e final:

$$6.0 = 3.0v_f$$ $$v_f = 2.0\ \mathrm{m/s}$$

Portanto, os carrinhos unidos se movem a $2.0\ \mathrm{m/s}$ para a direita.

O ponto principal é que a quantidade de movimento total permanece a mesma para o sistema dos dois carrinhos, embora a quantidade de movimento individual de cada carrinho mude durante a colisão.

Erros comuns

Tratar a quantidade de movimento como escalar

Sinais ou componentes vetoriais importam. Esquerda e direita não podem ser tratadas ambas como positivas, a menos que você defina primeiro um sistema de coordenadas e o mantenha de forma consistente.

Usar conservação sem verificar o sistema

A conservação da quantidade de movimento depende do sistema escolhido. Se um impulso externo forte atuar sobre esse sistema durante o intervalo de tempo, a quantidade de movimento total desse sistema não precisa permanecer constante.

Confundir conservação da quantidade de movimento com conservação da energia cinética

Em uma colisão perfeitamente inelástica como a do exemplo dos carrinhos, a quantidade de movimento pode se conservar enquanto a energia cinética não. Essas são ideias diferentes.

Esquecer a condição por trás de $p = mv$

Essa fórmula é a expressão clássica da quantidade de movimento linear. Ela é a escolha padrão correta para problemas do dia a dia, mas não para velocidades relativísticas.

Onde a quantidade de movimento aparece

A quantidade de movimento aparece em colisões, explosões, recuo, movimento de foguetes, segurança em impactos e mecânica dos esportes. Engenheiros usam a ideia de impulso ao pensar em airbags e zonas de deformação, porque aumentar o tempo de parada pode reduzir a força média necessária para produzir a mesma variação da quantidade de movimento.

Se você quiser entender interações rápidas, a quantidade de movimento costuma ser o ponto de partida mais limpo, porque as forças durante uma colisão podem ser complicadas mesmo quando o quadro da quantidade de movimento total permanece simples.

Tente um problema parecido

Mude as massas dos carrinhos ou a velocidade inicial e preveja a direção final antes de calcular. Um bom próximo caso é fazer o segundo carrinho mover-se para a esquerda em vez de começar em repouso.

Se quiser testar seus próprios números passo a passo, resolva um problema semelhante de quantidade de movimento com o GPAI Solver.