Równanie Schrödingera

Równanie Schrödingera opisuje, jak zmienia się stan kwantowy w nierelatywistycznej mechanice kwantowej. Jeśli znasz funkcję falową $\psi$ i energię potencjalną $V$, to równanie mówi, jak ewoluuje $\psi$ i które stany energetyczne są dozwolone.

Dla jednej cząstki w trzech wymiarach równanie zależne od czasu zwykle zapisuje się jako

$$i\hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} = \left( -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V(\mathbf{r}, t) \right)\psi$$

Tutaj $m$ oznacza masę cząstki, $V$ to energia potencjalna, a $\hbar$ to zredukowana stała Plancka. Jest to standardowy punkt wyjścia, gdy odpowiedni jest model nierelatywistyczny, czyli wtedy, gdy efekty relatywistyczne są na tyle małe, że można je pominąć.

Co oznacza równanie Schrödingera

Równanie łączy dwie idee: to, jak funkcja falowa zmienia się w czasie, oraz to, jak energia układu działa na tę funkcję falową. Wyraz z $\nabla^2$ jest związany z energią kinetyczną, a $V$ reprezentuje energię potencjalną.

Nie należy interpretować $\psi$ jak klasycznej fali, na przykład wysokości wody. W standardowej interpretacji wielkością mierzalną jest $|\psi|^2$, które po normalizacji daje gęstość prawdopodobieństwa.

To jest kluczowa różnica względem mechaniki klasycznej. Równanie zwykle nie przewiduje jednej dokładnej trajektorii cząstki. Przewiduje, jak zmienia się struktura prawdopodobieństwa układu.

Kiedy stosuje się postać niezależną od czasu

Równanie Schrödingera zależne od czasu jest postacią ogólną. Druga postać pojawia się tylko wtedy, gdy potencjał nie zależy od czasu i szukasz stanów stacjonarnych o określonej energii.

W jednym wymiarze ta postać niezależna od czasu ma postać

$$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2 \psi}{dx^2} + V(x)\psi = E\psi$$

Nie jest to inne prawo. To szczególny przypadek równania zależnego od czasu w tych warunkach. Jeśli potencjał zmienia się w czasie, nie należy oczekiwać, że ta prostsza postać opisze całą sytuację.

Przykład rozwiązany: cząstka w jednowymiarowym pudle

Standardowym przykładem jest cząstka ograniczona do obszaru między $x=0$ i $x=L$, z energią potencjalną

$$V(x) = \begin{cases} 0, & 0 < x < L \\ \infty, & \text{poza pudłem} \end{cases}$$

Wewnątrz pudła potencjał jest równy zeru, więc równanie niezależne od czasu przyjmuje postać

$$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2 \psi}{dx^2} = E\psi$$

Na ścianach funkcja falowa musi zanikać:

$$\psi(0) = 0, \qquad \psi(L) = 0$$

Te warunki brzegowe eliminują większość rozwiązań matematycznych i pozostawiają tylko pewne stany stacjonarne:

$$\psi_n(x) = \sqrt{\frac{2}{L}} \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right), \qquad n = 1,2,3,\dots$$

a dozwolone energie są równe

$$E_n = \frac{n^2 \pi^2 \hbar^2}{2mL^2}$$

To najważniejsza idea, którą warto zapamiętać. Samo równanie nie wystarcza; warunki brzegowe też mają znaczenie. Razem dopuszczają tylko dyskretny zbiór energii zamiast każdej możliwej wartości.

Jeśli pudło staje się większe, dozwolone energie maleją, ponieważ $E_n \propto 1/L^2$. Jeśli pudło staje się mniejsze, poziomy energii rozchodzą się bardziej.

Dlaczego ten przykład pomaga zrozumieć mechanikę kwantową

Model cząstki w pudle jest prosty, ale bardzo szybko pokazuje jedną ważną ideę kwantową: ograniczenie przestrzenne może prowadzić do skwantowanej energii. Ten sam schemat pojawia się szerzej w atomach, studniach kwantowych i innych układach związanych.

Pokazuje też, dlaczego warunki brzegowe nie są tylko pobocznym szczegółem. W mechanice kwantowej układ fizyczny i dozwolone funkcje falowe są ze sobą ściśle powiązane.

Typowe błędy związane z równaniem Schrödingera

• Traktowanie samej $\psi$ jako prawdopodobieństwa. W standardowej interpretacji gęstością prawdopodobieństwa jest $|\psi|^2$ po normalizacji.
• Używanie równania niezależnego od czasu tak, jakby zawsze miało zastosowanie. To właściwe narzędzie tylko dla problemów ze stanami stacjonarnymi i potencjałem niezależnym od czasu.
• Oczekiwanie, że równanie poda dokładną klasyczną trajektorię. Ogólnie opisuje ono ewolucję funkcji falowej, a nie pojedynczej ścieżki.
• Zapominanie, że warunki brzegowe mogą zmieniać to, które rozwiązania są fizycznie dozwolone.

Gdzie stosuje się równanie Schrödingera

Jest ono używane w fizyce atomowej, fizyce molekularnej, zagadnieniach tunelowania, modelach półprzewodników i wielu działach chemii kwantowej. W każdym przypadku dokładny potencjał i szczegóły układu się zmieniają, ale ten sam podstawowy formalizm pozostaje.

Przy bardzo dużych prędkościach albo wtedy, gdy efekty relatywistyczne mają znaczenie, równanie Schrödingera nie jest pełnym modelem. W takim reżimie potrzebne są bardziej zaawansowane równania.

Spróbuj podobnej zmiany

Zachowaj to samo pudło, ale zamień $L$ na $2L$. Bez wykonywania wielu obliczeń przewidź, co stanie się z $E_1$ i odstępem między sąsiednimi poziomami energii. Jeśli potem chcesz użytecznego porównania, spójrz na równanie falowe i zauważ, że oba równania łączą równania różniczkowe z ograniczeniami fizycznymi, ale robią to na różne sposoby.