因数分解 やり方

因数分解のやり方を一言でいうと、「共通因数があれば先にくくる」「式の形に合う分け方を探す」「最後に展開して確認する」です。特に二次式では、積と和の両方が合う数を見つける考え方が中心になります。

たとえば $x^2 + 5x + 6$ は、展開すると元に戻る2つの式の積を探せばよいので、

$$x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)$$

と書けます。これが因数分解です。

因数分解とは

因数分解は、和の形で書かれた式を積の形に直すことです。展開が「かけ算をひろげる操作」なら、因数分解はその逆です。

この形に直せると、方程式を解きやすくなったり、式の構造が見えやすくなったりします。ただし、いつでも整数だけで簡単に因数分解できるとは限りません。

まず何を見るか

最初に見るべきなのは、全ての項に共通する因数です。ここを飛ばすと、その後の形が見えにくくなります。

たとえば

$$6x^2 + 9x$$

はどちらの項にも $3x$ があるので、

$$6x^2 + 9x = 3x(2x + 3)$$

とします。これで十分に因数分解できています。

二次式の基本的なやり方

$x^2 + bx + c$ の形なら、次の条件を同時に満たす2つの数を探します。

1. かけると $c$ になる
2. 足すと $b$ になる

この方法は、$x^2$ の係数が $1$ のときに特に使いやすい考え方です。

例題: $x^2 + 7x + 12$ を因数分解する

ここでは、積が $12$、和が $7$ になる2つの数を探します。

$$3 \times 4 = 12,\qquad 3 + 4 = 7$$

条件に合うのは $3$ と $4$ なので、

$$x^2 + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4)$$

となります。

確認のために展開すると、

$$(x + 3)(x + 4) = x^2 + 4x + 3x + 12 = x^2 + 7x + 12$$

で、元の式に戻ります。したがって因数分解は正しいです。

よくあるミス

1. 共通因数を見落とすこと。たとえば $4x^2 - 8x$ は、まず $4x$ をくくって $4x(x - 2)$ と見る方が自然です。
2. 積だけ合っていて、和が合っていない数を選ぶこと。二次式では両方の条件が必要です。
3. 符号を取り違えること。特に $c$ が負のときは、正負が異なる2数を考える必要があります。
4. 確認の展開を省くこと。最後に戻してみるだけで、多くのミスに気づけます。

どんなときに使うか

因数分解は、二次方程式を解くとき、式を簡単にするとき、グラフの交点を考えるときによく使います。特に $ax^2 + bx + c = 0$ の形では、因数分解できると解を読み取りやすくなります。

一方で、すべての式がすぐ因数分解できるわけではありません。整数では分けにくい式もあるので、その場合は平方完成や解の公式に進むことがあります。

次にやること

次は $x^2 - x - 12$ を自分で因数分解してみてください。積が $-12$、和が $-1$ になる2つの数を探し、最後に展開して確かめれば流れは同じです。

途中式が合っているか比べたいときは、手で展開チェックをしたあとで、同じ式を別の解き方でも試してみると理解がかなり安定します。