극한 — 정의, 법칙, 구하는 방법

미적분에서 극한은 입력값이 어떤 점에 가까워질 때 함수가 가까워지는 값을 뜻합니다. 직접 대입이 도움이 되지 않을 때, 특히 구멍이 있거나 점프가 있거나 $0/0$이 나오는 식에서 극한을 사용합니다.

기호로는

$$\lim_{x \to a} f(x) = L$$

처럼 쓰며, 이는 $x$가 $a$ 근처로 갈 때 $f(x)$의 값이 $L$ 근처로 간다는 뜻입니다.

핵심은 극한이 $x=a$에서의 정확한 값만 보는 것이 아니라, 그 점 근처에서의 거동을 본다는 점입니다. 그 점에서 함수값이 다른 수일 수도 있고, 아예 정의되지 않아도 극한은 존재할 수 있습니다.

극한의 정의: 도착이 아니라 접근

"극한"이라는 말은 도착이 아니라 접근을 뜻합니다. 만약

$$\lim_{x \to 2} f(x) = 5$$

라면, 이것이 자동으로 $f(2) = 5$를 의미하는 것은 아닙니다. 이는 $x$가 양쪽에서 2에 가까워질 때 $f(x)$가 5에 가까워진다는 뜻입니다.

그래서 극한은 조각함수, 유리식, 그리고 구멍이 있는 그래프에서 중요합니다. 점 자체에 문제가 있어도 그 점 근처에서 함수가 어떻게 움직이는지 설명할 수 있게 해 줍니다.

안전하게 사용할 수 있는 극한 법칙

더 간단한 극한들이 존재하면, 그것들을 이용해 더 복잡한 극한을 구할 수 있습니다.

만약

$$\lim_{x \to a} f(x) = L \qquad \text{and} \qquad \lim_{x \to a} g(x) = M,$$

이면 다음이 성립합니다.

$$\lim_{x \to a} \left(f(x) + g(x)\right) = L + M$$ $$\lim_{x \to a} \left(c f(x)\right) = cL$$ $$\lim_{x \to a} \left(f(x)g(x)\right) = LM$$ $$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{L}{M} \qquad \text{if } M \ne 0$$

여기서 $M \ne 0$이라는 조건이 중요합니다. 분모의 극한이 $0$이면, 몫의 법칙으로 그 단계를 정당화할 수 없습니다.

다항함수와 익숙한 많은 함수에서는 확인하는 점에서 연속이므로 직접 대입이 통합니다.

기본적인 극한 구하는 방법

대부분의 기본 극한 문제는 같은 순서로 풉니다.

1. 먼저 직접 대입해 봅니다.
2. 보통의 실수가 나오면 그것이 극한값입니다.
3. $0/0$ 같은 부정형이 나오면 먼저 식을 간단히 정리합니다.
4. 식이 양쪽에서 다르게 행동할 수 있으면 편측극한을 비교합니다.

편측극한 표기는 다음과 같습니다.

$$\lim_{x \to a^-} f(x) \qquad \text{and} \qquad \lim_{x \to a^+} f(x)$$

전체 극한은 좌극한과 우극한이 모두 존재하고 서로 같을 때만 존재합니다.

풀이 예제: $0/0$ 꼴의 극한

다음을 구해 봅시다.

$$\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1}$$

직접 대입하면

$$\frac{1^2 - 1}{1 - 1} = \frac{0}{0}$$

이 나옵니다.

하지만 이것이 답은 아닙니다. 직접 대입만으로는 문제를 끝낼 수 없다는 뜻일 뿐입니다.

분자를 인수분해하면

$$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$$

이고, $x \ne 1$일 때

$$\frac{x^2 - 1}{x - 1} = \frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1} = x + 1$$

이므로 이제 극한은 더 쉽게 구할 수 있습니다.

$$\lim_{x \to 1} (x + 1) = 2$$

따라서

$$\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} = 2$$

입니다.

원래 함수는 $x = 1$에서 정의되지 않지만, 근처의 함수값이 $2$에 가까워지므로 극한은 존재합니다. 이것이 제거 가능한 불연속의 전형적인 형태입니다.

극한을 구할 때 자주 하는 실수

1. $0/0$을 최종값으로 생각하는 것. 이것은 해답이 아니라 경고 신호입니다.
2. 극한값이 반드시 $f(a)$와 같다고 생각하는 것. 함수가 $a$에서 연속일 때만 그렇습니다.
3. 분모의 극한이 $0$인데도 몫의 법칙을 쓰는 것. 이 경우에는 조건이 깨집니다.
4. 좌극한과 우극한의 거동을 무시하는 것. 양쪽이 다른 값으로 가면 극한은 존재하지 않습니다.
5. 조건을 언급하지 않고 인수를 약분하는 것. 위 예제에서 $x-1$을 약분하는 것은 $x \ne 1$일 때만 가능하지만, 극한은 근처의 점들을 보기 때문에 그것으로 충분합니다.

미적분에서 극한이 쓰이는 곳

극한은 미적분의 여러 핵심 개념의 출발점입니다. 극한은 다음과 같은 데 쓰입니다.

1. 도함수의 정의,
2. 연속성의 설명,
3. 점근선이나 끝점 근처의 거동 분석,
4. 식이 어떤 점에서 직접 정의되지 않을 때 그 근처에서의 단순화를 정당화하는 것.

이후 미분, 적분, 무한수열, 급수를 배우게 되면 극한은 그 모든 내용을 떠받치는 언어의 일부가 됩니다.

다음으로 넘어가기 전 빠른 확인

극한을 구한 뒤에는 한 가지를 물어보세요. 근처의 함수값이 정말 양쪽에서 그 답으로 가고 있는가?

이 짧은 확인만으로도 많은 실수를 잡을 수 있습니다. 특히 조각함수와 유리식에서 효과적입니다.

비슷한 극한을 직접 풀어 보기

다음을 풀어 보세요.

$$\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x - 3}$$

같은 순서를 따라가면 됩니다. 대입하고, $0/0$을 확인하고, 인수분해하고, 간단히 정리한 뒤 다시 대입해 보세요. 다음 단계로 더 나아가고 싶다면, 직접 조각함수 예제를 만들어 좌극한과 우극한이 같은지 확인해 보세요.